Chapitre 7 – Espaces probabilisés
La formule de Bayes
Théorème 11
Pour tout couple d’événements (A, B) de l’espace probabilisé (V, T , P) tel que
P(A)P(B) = 0,
P B (A) =
P(A)P A (B)
P(B)
·
Preuve
Par définition de la probabilité conditionnelle
P(A)PA(B) = P(B ∩ A) = P(B)PB(A).
❑
En général, pour exprimer P(A), on utilise la formule des probabilités totales. On
obtient le théorème suivant.
Théorème 12 (Formule de Bayes)
Pour tout système complet fini d’événements A 1 , . . . , A n , et tout événement B de l’espace
probabilisé (V, T , P), tels que les événements A i (1 i n) et B aient une probabilité
non nulle, on a, pour tout i de [[1, n]],
P B (A i ) =
P Ai (B)P(A i )
n
j=1
P Aj (B)P(A j )
·
En particulier, pour tout couple d’événements (A, B) tel que 0 < P(A) < 1 et P(B) = 0,
P B (A) =
P A (B)P(A)
P A (B)P(A) + P A (B)P(A)
·
Pour tout système complet d’événements (A n ) n∈N , et tout événement B de l’espace probabilisé (V, T , P) tels que les événements A n (n ∈ N) et B aient une probabilité non nulle,
on a, pour tout i de N,
P B (A i ) =
P Ai (B)P(A i )
+∞
j=0
P Aj (B)P(A j )
·
Preuve
On reconnaît P(B) dans le dénominateur du membre de droite des deux premières égalités, en vertu de la formule
des probabilités totales. Il s’agit donc de démontrer que PB(A i ) =
PA i (B)P(A i )
P(B)
, ce qui résulte de la proposition
précédente. La dernière égalité est un cas particulier de la première, où le système complet d’événements est
(A, A).
❑
220