© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Les probabilités conditionnelles
On obtient
+∞
k=2
P(A k ) =
+∞
k=2
2
1
3
k−1
= 2
+∞
j=0
1
3
j+1
=
2
3
1
1 −
1
3
= 1.
On a donc
P
⎛
⎝
k2
A k
⎞
⎠ =
+∞
k=2
P(A k ).
Posons A =
k2
A k . L’événement contraire A =
k2
A k est « on n’obtient jamais deux
boîtes non vides », c’est-à-dire « toutes les boules sont placées dans la même boîte ». Il est
de probabilité nulle.
On note que (A k ) k2 est un système quasi-complet d’événements.
2. Si A k est réalisé, il y au moins une boîte vide jusqu’au placement de la k-ième boule. On
a donc P(B /A k ) = 0 si k.
Supposons > k. À l’issue du placement de la k-ième boule, deux des boîtes sont non
vides. Pour que B soit réalisé, il faut que − k − 1 boules supplémentaires soient placées
dans l’une des deux boîtes déjà occupées et que la ( − k)-ième soit placée dans la troisième
boîte. On obtient
P(B /A k ) =
2
3
−k−1 1
3
·
Appliquons la formule de probabilités totales avec le système quasi-complet d’événements
(A k ) k2 . On obtient, pour 3,
P(B ) =
+∞
k=2
P(B /A k )P(A k ) =
−1
k=2
2
3
−k−1 1
3
· 2
1
3
k−1
=
−1
k=2
2
−k
3 −1 =
1
3 −1
−2
j=1
2
j =
1
3 −1 · 2 (2
−2
− 1)
=
2
3
−1
− 2
1
3
−1
.
On en déduit que
+∞
=3
P(B ) =
+∞
=3
2
3
−1
− 2
+∞
=3
1
3
−1
=
4
9
+∞
j=0
2
3
j
−
2
9
+∞
j=0
1
3
j
=
4
9
1
1 −
2
3
−
2
9
1
1 −
1
3
=
4
3
−
1
3
= 1.
L’interprétation est la même que dans la question précédente. Il est quasi-certain qu’aucune
des trois boîtes ne restera vide.
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