Chapitre 7 – Espaces probabilisés
Preuve
Comme (A, A) est un système complet d’événements, on a d’après la proposition 5 page 202
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A).
Les événements A et A sont de probabilité non nulle, donc on peut écrire P(B ∩ A) = PA(B)P(A) et
P(B ∩ A) = P A (B)P(A). On obtient donc
P(B) = PA(B)P(A) + P A (B)P(A).
❑
Cette formule est utilisée avec A = A n dans le cas d’une suite (A n ) d’événements
pour laquelle on connaît P An−1 (A n ) et P A n−1 (A n ). On détermine ainsi une relation de
récurrence entre P(A n ) et P(A n−1 ).
Exercice 5.
Un feu bicolore, lorsqu’il est rouge à un instant donné, passe au vert à l’instant suivant avec la
probabilité p et lorsqu’il est vert passe au rouge avec la probabilité q (0 < p < 1, 0 < q < 1).
On note r n (resp. v n ) la probabilité que ce feu soit au rouge (resp. au vert) à l’instant t = n. On
suppose que r 0 + v 0 = 1.
1. Montrer l’existence d’une matrice A ∈ M 2 (R) telle que, pour tout n ∈ N,
r n+1
v n+1
= A
r n
v n
.
2. Montrer que A est diagonalisable. Quelles sont ses valeurs propres ?
3. Calculer r n et v n en fonction de n. Calculer les limites des suites (r n ) et (v n ).
Solution.
1. On note R n (resp. V n ) l’événement « le feu est au rouge (resp. au vert)à l’instant n ». Les
événements R n et V n forment un système complet d’événements car R n = V n . On a
par hypothèse P(V n+1 /R n ) = p et P(R n+1 /V n ) = q et donc P(R n+1 /R n ) = 1 − p et
P(V n+1 /V n ) = 1 − q. On en déduit, par la formule des probabilités totales que, pour tout
n ∈ N,
r n+1 = P(R n+1 ) = P(R n+1 /R n )P(R n ) + P(R n+1 /V n )P(V n ) = (1 − p)r n + qv n
v n+1 = P(V n+1 ) = P(V n+1 /R n )P(R n ) + P(V n+1 /V n )P(V n ) = pr n + (1 − q)v n ,
c’est-à-dire
r n+1
v n+1
= A
r n
v n ,
, où A =
1 − p
q
p
1 − q
.
2. Pour tout l réel, on a
rg(A − lI 2 ) = rg
1 − p − l
q
p
1 − q − l
= rg
1 − p − l
q
1 − l
1 − l
= rg
1 − p − q − l
q
0
1− l
.
Les valeurs propres de A sont donc 1 et 1 − p − q. Elles sont distinctes donc A est diagonalisable.
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