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Les probabilités conditionnelles
2. On a pour n 2, a n =
b + (n − 1)c
a + b + (n − 1)c
a n−1 et donc
a n−1 − a n = a n−1 −
b + (n − 1)c
a + b + (n − 1)c
a n−1 =
a
a + b + (n − 1)c
a n−1 = p n .
Pour n ∈ N
∗ , on a
ln a n =
n−1
k=0
ln
b + kc
a + b + kc
= −
n−1
k=0
ln
a + b + kc
b + kc
= −
n−1
k=0
ln
1 +
a
b + kc
.
Pour tout k ∈ N, ln
1 +
a
b + kc
est positif et de plus
ln
1 +
a
b + kc
∼
k→+∞
a
b + kc
∼
k→+∞
a
b
·
1
k
·
D’après le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série de terme général
ln
1 +
a
b + kc
diverge comme la série harmonique. On en déduit que lim
n→+∞
ln a n = −∞
et donc par composition des limites que lim
n→+∞
a n = 0.
De l’égalité p n = a n−1 − a n , on déduit, pour N 2,
N
n=1
p n = p 1 +
N
n=2
(a n−1 − a n ) = p 1 + a 1 − a N =
a
a + b
+
b
a + b
− a N = 1 − a N
et donc lim
N→+∞
N
n=1
p n = 1 − lim
N→+∞
a N = 1. On a donc par définition
+∞
n=1
p n = 1.
Notons pour n ∈ N
∗ C n l’événement « il apparaît une boule blanche pour la première fois
au n-ième tirage » et C l’événement « il apparaît une boule blanche ». On a C =
+∞
n=1
C n .
En effet, une boule blanche apparaît si et seulement s’il existe un rang n 1 où pour
la première fois apparaît une boule blanche. Les événements C n étant incompatibles, on
obtient
P(C) =
+∞
n=1
P(C n ) =
+∞
n=1
p n = 1.
L’événement C est quasi-certain. Il est quasi-impossible qu’on n’obtienne que des boules
noires tout au long de l’expérience.
La formule des probabilités totales
Commençons par un cas particulier important correspondant au cas où le système
complet d’événements est (A, A).
Théorème 9
Pour tout événement A tel que 0 < P(A) < 1 et tout événement B de l’espace probabilisé
(V, T , P),
P(B) = P A (B)P(A) + P A (B)P(A).
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