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Les probabilités conditionnelles
On a A − I 2 =
−p q
p −q
donc (q, p) est un vecteur propre pour la valeur propre 1. De
même A − (1 − p − q)I 2 =
q q
p p
donc (1, −1) est un vecteur propre pour le valeur
propre 1 − p − q. En posant P =
q 1
p −1
, matrice de passage de la base canonique de R
2
à une base de vecteurs propres, on obtient A = PDP
−1 , où D =
1
0
0 1 − p − q
. On
calcule P
−1 . On trouve P
−1 =
1
p + q
1 1
p −q
.
3. On obtient
r n
v n
= A
n
r 0
v 0
= PD
n P
−1
r 0
v 0
=
1
p + q
P
1
0
0 (1 − p − q)
n
1
pr 0 − qv 0
car r 0 + v 0 = 1,
=
1
p + q
q 1
p −1
1
(pr 0 − qv 0 )(1 − p − q)
n
=
1
p + q
q + (pr 0 − qv 0 )(1 − p − q)
n
p − (pr 0 − qv 0 )(1 − p − q)
n
.
Ainsi, on a
r n =
q + (pr 0 − qv 0 )(1 − p − q)
n
p + q
et v n =
p − (pr 0 − qv 0 )(1 − p − q)
n
p + q
·
Par hypothèse p et q appartiennent à ]0, 1[, donc −1 < 1 − p − q < 1. On en déduit
lim
n→+∞
r n =
q
p + q
et
lim
n→+∞
v n =
p
p + q
·
Théorème 10 (Formule des probabilités totales)
Soit (A 1 , A 2 , . . . , A n ) un système complet d’événements de l’espace probabilisé (V, T , P)
tels que pour tout entier i de Ú1, nÛ, P(A i ) = 0.
Pour tout événement B, on a
P(B) =
n
i=1
P Ai (B)P(A i ).
Soit (A i ) i∈N un système complet d’événements de l’espace probabilisé (V, T , P) tel que,
pour tout entier i, on ait P(A i ) = 0.
Pour tout événement B, on a
P(B) =
+∞
i=0
P Ai (B)P(A i ).
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