Chapitre 7 – Espaces probabilisés
3. Les probabilités conditionnelles
Les définitions qui suivent généralisent simplement les définitions vues en première
année dans le cas d’un univers fini.
3.1 Définition
Théorème 7
Pour tout événement A de l’espace probabilisé (V, T , P) vérifiant P(A) = 0, l’application
T −→
R
P A : B −→
P(B ∩ A)
P(A)
est une probabilité sur (V, T , P), appelée la probabilité conditionnelle relative à A.
Pour tout événement B, P A (B) qui est encore noté P(B/A) est appelé la probabilité de
B sachant A.
Preuve
Montrons que PA est une probabilité sur V.
• On a PA(V) =
P(V ∩ A)
P(A)
= 1.
• Soit (B i ) i∈N une suite d’événements deux à deux incompatibles. La famille (B i ∩ A) i∈N est aussi une suite
d’événements deux à deux incompatibles. La définition de la probabilité implique que
P
i∈N
B i
∩ A
= P
i∈N
(B i ∩ A)
=
+∞
i=0
P
B i ∩ A
.
On a donc
PA
⎛
⎝
i∈N
B i
⎞
⎠ =
P
i∈N
B i
∩ A
P(A)
=
+∞
i=0
P(B i ∩ A)
P(A)
=
+∞
i=0
PA(B i ).
❑
➤ Remarques
• La probabilité PA(B) de B sachant A est à bien distinguer de la probabilité de l’intersection de B et de A égale à
P(B ∩ A).
En effet dans le calcul de la probabilité PA(B), nous supposons implicitement que l’événement A est réalisé
tandis que dans le calcul de la probabilité P(B ∩ A), nous cherchons la probabilité de l’événement (A et B) où
l’événement A n’est pas a priori réalisé.
• Puisque PA est une probabilité, elle possède toutes les propriétés d’une probabilité. En particulier, pour tout
événement B, on a PA(B) = 1 − PA(B).
3.2 Formules liées à la probabilité conditionnelle
La formule des probabilités composées
Le plus souvent dans les exercices, on ne calcule pas P A (B) à partir de P(A ∩ B) et
P(A). Au contraire, c’est la connaissance de P A (B) et P(A) qui permet le calcul de
P(A ∩ B).
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3. Les probabilités conditionnelles
Les définitions qui suivent généralisent simplement les définitions vues en première
année dans le cas d’un univers fini.
3.1 Définition
Théorème 7
Pour tout événement A de l’espace probabilisé (V, T , P) vérifiant P(A) = 0, l’application
T −→
R
P A : B −→
P(B ∩ A)
P(A)
est une probabilité sur (V, T , P), appelée la probabilité conditionnelle relative à A.
Pour tout événement B, P A (B) qui est encore noté P(B/A) est appelé la probabilité de
B sachant A.
Preuve
Montrons que PA est une probabilité sur V.
• On a PA(V) =
P(V ∩ A)
P(A)
= 1.
• Soit (B i ) i∈N une suite d’événements deux à deux incompatibles. La famille (B i ∩ A) i∈N est aussi une suite
d’événements deux à deux incompatibles. La définition de la probabilité implique que
P
i∈N
B i
∩ A
= P
i∈N
(B i ∩ A)
=
+∞
i=0
P
B i ∩ A
.
On a donc
PA
⎛
⎝
i∈N
B i
⎞
⎠ =
P
i∈N
B i
∩ A
P(A)
=
+∞
i=0
P(B i ∩ A)
P(A)
=
+∞
i=0
PA(B i ).
❑
➤ Remarques
• La probabilité PA(B) de B sachant A est à bien distinguer de la probabilité de l’intersection de B et de A égale à
P(B ∩ A).
En effet dans le calcul de la probabilité PA(B), nous supposons implicitement que l’événement A est réalisé
tandis que dans le calcul de la probabilité P(B ∩ A), nous cherchons la probabilité de l’événement (A et B) où
l’événement A n’est pas a priori réalisé.
• Puisque PA est une probabilité, elle possède toutes les propriétés d’une probabilité. En particulier, pour tout
événement B, on a PA(B) = 1 − PA(B).
3.2 Formules liées à la probabilité conditionnelle
La formule des probabilités composées
Le plus souvent dans les exercices, on ne calcule pas P A (B) à partir de P(A ∩ B) et
P(A). Au contraire, c’est la connaissance de P A (B) et P(A) qui permet le calcul de
P(A ∩ B).
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