© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Espaces probabilisés
Le nombre
1
2
est aussi la probabilité de l’événement contraire B n = A n , défini par « le
n-ième lancer a donné pile ».
L’événement E qui fait l’objet de la question posée, peut s’écrire
E =
+∞
n=1
A n .
Si l’on note, conformément au cas fini, E N = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A N , la relation entre
E et les E N est simple ; on a
E =
+∞
n=1
A n =
+∞
N=1
E N
et donc, pour tout N ∈ N ∗ , E ⊂ E N , ce qui implique 0 P(E) P(E N ).
Si l’on se donne le droit de considérer que les résultats du cas fini peuvent avoir
encore un sens dans le cas infini quand ils ne concernent que les premiers lancers,
l’étude précédente donne P(E N ) =
1
2 N , d’où par passage à la limite dans les inégalités
précédentes,
0 P(E) lim
N→+∞
1
2 N
et donc P(E) = 0. Ainsi, sous les hypothèses précédentes, est-il quasi impossible de
n’obtenir que des côtés face lorsqu’un joueur lance une pièce équilibrée une infinité
de fois.
Cela ne signifie pas toutefois que cet événement est impossible (il serait alors l’événement vide) ; il contient la suite constante égale à 1.
➤ Remarque
On peut faire le même raisonnement avec une suite de lancers d’un dé équilibré. Montrons que si on lance le dé
une infinité de fois, l’événement B : « on obtient au moins un 6 » est quasi-certain.
Considérons l’événement contraire B : « on obtient une suite de numéros tous différents de 6 » et, pour tout
N ∈ N ∗ , l’événement EN : « les N premiers lancers donnent des numéros tous différents de 6 ». Une suite de
N lancers peut être représentée par l’univers V = [ [1, 6] ]
N . On le munit de la probabilité uniforme. On a alors
Card(V) = 6
N , Card(EN) = 5
N et donc P(EN) =
5
6
N
.
De 0 P(B) P(EN) pour tout N ∈ N ∗ , on déduit, par passage à la limite, P(B) = 0, puis P(B) = 1. L’événement
B est quasi-impossible bien qu’il contienne une infinité d’éléments : toutes les suites (an) n∈N ∗ telles que, pour tout
n ∈ N ∗ , an ∈ [ [1, 5] ].
211
Espaces probabilisés
Le nombre
1
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est aussi la probabilité de l’événement contraire B n = A n , défini par « le
n-ième lancer a donné pile ».
L’événement E qui fait l’objet de la question posée, peut s’écrire
E =
+∞
n=1
A n .
Si l’on note, conformément au cas fini, E N = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A N , la relation entre
E et les E N est simple ; on a
E =
+∞
n=1
A n =
+∞
N=1
E N
et donc, pour tout N ∈ N ∗ , E ⊂ E N , ce qui implique 0 P(E) P(E N ).
Si l’on se donne le droit de considérer que les résultats du cas fini peuvent avoir
encore un sens dans le cas infini quand ils ne concernent que les premiers lancers,
l’étude précédente donne P(E N ) =
1
2 N , d’où par passage à la limite dans les inégalités
précédentes,
0 P(E) lim
N→+∞
1
2 N
et donc P(E) = 0. Ainsi, sous les hypothèses précédentes, est-il quasi impossible de
n’obtenir que des côtés face lorsqu’un joueur lance une pièce équilibrée une infinité
de fois.
Cela ne signifie pas toutefois que cet événement est impossible (il serait alors l’événement vide) ; il contient la suite constante égale à 1.
➤ Remarque
On peut faire le même raisonnement avec une suite de lancers d’un dé équilibré. Montrons que si on lance le dé
une infinité de fois, l’événement B : « on obtient au moins un 6 » est quasi-certain.
Considérons l’événement contraire B : « on obtient une suite de numéros tous différents de 6 » et, pour tout
N ∈ N ∗ , l’événement EN : « les N premiers lancers donnent des numéros tous différents de 6 ». Une suite de
N lancers peut être représentée par l’univers V = [ [1, 6] ]
N . On le munit de la probabilité uniforme. On a alors
Card(V) = 6
N , Card(EN) = 5
N et donc P(EN) =
5
6
N
.
De 0 P(B) P(EN) pour tout N ∈ N ∗ , on déduit, par passage à la limite, P(B) = 0, puis P(B) = 1. L’événement
B est quasi-impossible bien qu’il contienne une infinité d’éléments : toutes les suites (an) n∈N ∗ telles que, pour tout
n ∈ N ∗ , an ∈ [ [1, 5] ].
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