Chapitre 7 – Espaces probabilisés
• À l’opéra n mélomanes, numérotés suivant leur ordre d’arrivée au vestiaire, y déposent
leur chapeau. En échange, un ticket leur est donné, mais le responsable a mélangé tous
les tickets et tous les chapeaux qui sont donc rendus au hasard. Quelle est la probabilité
qu’aucun mélomane ne récupère son chapeau ?
• Un facteur possède n lettres adressées à n personnes distinctes. Il les distribue au hasard.
Quelle est la probabilité qu’aucune n’arrive à destination ?
2.4 Le jeu de pile ou face
Cet exemple vise à montrer les difficultés qu’il y a à modéliser, c’est-à-dire à construire
un espace probabilisé ad hoc, dans des situations en apparence simple. Un joueur lance
à plusieurs reprises une pièce équilibrée.
Déterminer la probabilité de l’événement E : « on obtient face à tous les lancers ».
Cas fini
Nous considérons une suite de N lancers numérotés de 1 à N. Nous choisirons
comme univers des possibles l’ensemble V = {0, 1}
N . Il est fini et de cardinal 2
N .
Comme la pièce est parfaitement équilibrée, on munit l’espace probabilisé (V, P(V))
de la probabilité uniforme.
Pour 1 n N, l’événement A n , l’événement « le n-ième lancer a donné face », est
l’ensemble des N-listes dont le n-ième élément est 1. Il y en a 2
N−1 . Sa probabilité
est donc P(A n ) =
2
N−1
2 N =
1
2
·
Le nombre
1
2
est aussi la probabilité de l’événement contraire B n = A n : « le n-ième
lancer a donné pile ».
L’événement E peut s’écrire sous la forme E = A 1 ∩A 2 ∩· · ·∩A N . C’est un événement
élémentaire qui s’écrit E = {(1, . . . , 1)}. On a donc P(E) =
1
2 N ·
Cas infini
Si le nombre de lancers est infini, la modélisation théorique de ce jeu de pile ou face
est très complexe. Les lancers successifs sont notés 1, 2, 3 . . . Nous choisirons comme
univers des possibles l’ensemble V de toutes les suites (a n ) n∈N ∗ telles que, pour tout
n ∈ N ∗ , a n = 0 (si le n-ième lancer amène pile) ou a n = 1 (si le n-ième lancer amène
face). L’univers V n’est pas dénombrable ; on peut montrer qu’il peut être mis en
bijection avec R.
Nous ne préciserons pas quel est l’ensemble des événements. Il vérifie l’inclusion
stricte T ⊂ P(V). Nous supposons qu’il contient pour tout n ∈ N ∗ , l’ensemble A n ,
défini par « le n-ième lancer a donné face » (et donc toute intersection ou réunion de
tels ensembles ou de leur complémentaire). Nous admettrons que sur l’espace probabilisable ainsi obtenu on peut définir une probabilité vérifiant la propriété suivante :
pour tout n ∈ N ∗ ,
P(A n ) =
1
2
·
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• À l’opéra n mélomanes, numérotés suivant leur ordre d’arrivée au vestiaire, y déposent
leur chapeau. En échange, un ticket leur est donné, mais le responsable a mélangé tous
les tickets et tous les chapeaux qui sont donc rendus au hasard. Quelle est la probabilité
qu’aucun mélomane ne récupère son chapeau ?
• Un facteur possède n lettres adressées à n personnes distinctes. Il les distribue au hasard.
Quelle est la probabilité qu’aucune n’arrive à destination ?
2.4 Le jeu de pile ou face
Cet exemple vise à montrer les difficultés qu’il y a à modéliser, c’est-à-dire à construire
un espace probabilisé ad hoc, dans des situations en apparence simple. Un joueur lance
à plusieurs reprises une pièce équilibrée.
Déterminer la probabilité de l’événement E : « on obtient face à tous les lancers ».
Cas fini
Nous considérons une suite de N lancers numérotés de 1 à N. Nous choisirons
comme univers des possibles l’ensemble V = {0, 1}
N . Il est fini et de cardinal 2
N .
Comme la pièce est parfaitement équilibrée, on munit l’espace probabilisé (V, P(V))
de la probabilité uniforme.
Pour 1 n N, l’événement A n , l’événement « le n-ième lancer a donné face », est
l’ensemble des N-listes dont le n-ième élément est 1. Il y en a 2
N−1 . Sa probabilité
est donc P(A n ) =
2
N−1
2 N =
1
2
·
Le nombre
1
2
est aussi la probabilité de l’événement contraire B n = A n : « le n-ième
lancer a donné pile ».
L’événement E peut s’écrire sous la forme E = A 1 ∩A 2 ∩· · ·∩A N . C’est un événement
élémentaire qui s’écrit E = {(1, . . . , 1)}. On a donc P(E) =
1
2 N ·
Cas infini
Si le nombre de lancers est infini, la modélisation théorique de ce jeu de pile ou face
est très complexe. Les lancers successifs sont notés 1, 2, 3 . . . Nous choisirons comme
univers des possibles l’ensemble V de toutes les suites (a n ) n∈N ∗ telles que, pour tout
n ∈ N ∗ , a n = 0 (si le n-ième lancer amène pile) ou a n = 1 (si le n-ième lancer amène
face). L’univers V n’est pas dénombrable ; on peut montrer qu’il peut être mis en
bijection avec R.
Nous ne préciserons pas quel est l’ensemble des événements. Il vérifie l’inclusion
stricte T ⊂ P(V). Nous supposons qu’il contient pour tout n ∈ N ∗ , l’ensemble A n ,
défini par « le n-ième lancer a donné face » (et donc toute intersection ou réunion de
tels ensembles ou de leur complémentaire). Nous admettrons que sur l’espace probabilisable ainsi obtenu on peut définir une probabilité vérifiant la propriété suivante :
pour tout n ∈ N ∗ ,
P(A n ) =
1
2
·
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