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Espaces probabilisés
➤ Remarques
• Pour n = 3, la formule est
P(A1 ∪ A2 ∪ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) − P(A1 ∩ A2) − P(A1 ∩ A3) − P(A2 ∩ A3) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3).
• Pour k fixé, la deuxième sommation se fait sur toutes les listes strictement croissantes de k entiers compris entre
1 et n. Il y a donc
n
k
termes dans cette somme. Puisque k varie de 1 à n, le nombre total de termes au second
membre de l’égalité est donc est donc de
n
k=1
n
k
= 2
n − 1.
En particulier, si P(A i1 ∩ · · · ∩ A ik ) ne dépend pas des entiers i1, . . ., i k , mais seulement de k, alors
1i1
n
k
P(A1 ∩ · · · ∩ A k ). C’est le seul cas, pour une union de n ensembles, où
la formule du crible puisse être utilisée efficacement.
L’exercice qui suit illustre la dernière remarque.
Exercice 2.
On place au hasard r boules numérotées dans n cases numérotées, chaque case pouvant recevoir
un nombre quelconque de boules (r et n sont des entiers strictement positifs). Quelle est la
probabilité qu’aucune case ne soit vide ?
Solution. Soit E l’événement « aucune case n’est vide » et, pour 1 i n, A i l’événement
« la case i est vide ». On a E = A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n et donc E = A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n .
On calcule P(E) grâce à la formule de Poincaré. On obtient
P(E) =
n
k=1
(−1)
k−1
1i1
A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik
.
L’événement A i1 ∩A i2 ∩· · ·∩A ik est réalisé si aucune boule n’est placée dans les cases numérotées
i 1 , i 2 , . . . , i k , ce qui signifie qu’elles sont toutes placées dans l’une des n − k autres cases. La
probabilité de placer ainsi une des boules est
n − k
n
· Les choix pour les différentes boules étant
indépendants, on en déduit P
A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik
=
n − k
n
r
. Comme il y a
n
k
choix
d’indices i 1 , i 2 , · · · , i k pour k fixé, on obtient
P(E) =
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
n − k
n
r
et donc
P(E) = 1 − P(E) = 1 +
n
k=1
(−1)
k
n
k
n − k
n
r
=
n
k=0
(−1)
k
n
k
n − k
n
r
.
Dans le livre de première année, le lecteur trouvera résolu grâce à la formule du crible le
problème des rencontres dont on trouve diverses formulations.
• Problème des danseurs de Chicago : n couples se présentent à un concours de danse ; chaque
danseur choisit une partenaire au hasard. Quelle est la probabilité que personne ne danse
avec son conjoint ?
209
Espaces probabilisés
➤ Remarques
• Pour n = 3, la formule est
P(A1 ∪ A2 ∪ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) − P(A1 ∩ A2) − P(A1 ∩ A3) − P(A2 ∩ A3) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3).
• Pour k fixé, la deuxième sommation se fait sur toutes les listes strictement croissantes de k entiers compris entre
1 et n. Il y a donc
n
k
termes dans cette somme. Puisque k varie de 1 à n, le nombre total de termes au second
membre de l’égalité est donc est donc de
n
k=1
n
k
= 2
n − 1.
En particulier, si P(A i1 ∩ · · · ∩ A ik ) ne dépend pas des entiers i1, . . ., i k , mais seulement de k, alors
1i1
n
k
P(A1 ∩ · · · ∩ A k ). C’est le seul cas, pour une union de n ensembles, où
la formule du crible puisse être utilisée efficacement.
L’exercice qui suit illustre la dernière remarque.
Exercice 2.
On place au hasard r boules numérotées dans n cases numérotées, chaque case pouvant recevoir
un nombre quelconque de boules (r et n sont des entiers strictement positifs). Quelle est la
probabilité qu’aucune case ne soit vide ?
Solution. Soit E l’événement « aucune case n’est vide » et, pour 1 i n, A i l’événement
« la case i est vide ». On a E = A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n et donc E = A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n .
On calcule P(E) grâce à la formule de Poincaré. On obtient
P(E) =
n
k=1
(−1)
k−1
1i1
A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik
.
L’événement A i1 ∩A i2 ∩· · ·∩A ik est réalisé si aucune boule n’est placée dans les cases numérotées
i 1 , i 2 , . . . , i k , ce qui signifie qu’elles sont toutes placées dans l’une des n − k autres cases. La
probabilité de placer ainsi une des boules est
n − k
n
· Les choix pour les différentes boules étant
indépendants, on en déduit P
A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik
=
n − k
n
r
. Comme il y a
n
k
choix
d’indices i 1 , i 2 , · · · , i k pour k fixé, on obtient
P(E) =
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
n − k
n
r
et donc
P(E) = 1 − P(E) = 1 +
n
k=1
(−1)
k
n
k
n − k
n
r
=
n
k=0
(−1)
k
n
k
n − k
n
r
.
Dans le livre de première année, le lecteur trouvera résolu grâce à la formule du crible le
problème des rencontres dont on trouve diverses formulations.
• Problème des danseurs de Chicago : n couples se présentent à un concours de danse ; chaque
danseur choisit une partenaire au hasard. Quelle est la probabilité que personne ne danse
avec son conjoint ?
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