Chapitre 7 – Espaces probabilisés
D’après la formule du crible au rang 2 prouvée plus haut,
P
n+1
i=1
A i
= P
n
i=1
A i
∪ An+1
= P
n
i=1
A i
+ P(An+1) − P
n
i=1
A i
An+1
= P
n
i=1
A i
+ P(An+1) − P
n
i=1
(A i ∩ An+1)
.
Par hypothèse de récurrence, on a
P
n
i=1
A i
=
n
k=1
⎛
⎝ (−1)
k−1
1i1<··· P(A i1 ∩ · · · ∩ A ik )
⎞
⎠ , et
P
n
i=1
(A i ∩ An+1)
=
n
k=1
⎛
⎝ (−1)
k−1
1i1<··· P
(A i1 ∩ An+1) · · · ∩ (A ik ∩ An+1)
⎞
⎠
=
n
k=1
⎛
⎝ (−1)
k−1
1i1<··· P(A i1 ∩ · · · ∩ A ik ∩ An+1)
⎞
⎠ .
On obtient donc
P
n+1
i=1
A i
=
n
k=1
⎛
⎝ (−1)
k−1
1i1<··· P(A i1 ∩ · · · ∩ A ik )
⎞
⎠ + P(An+1)
+
n
k=1
⎛
⎝ (−1)
k
1i1<··· P(A i1 ∩ · · · ∩ A ik ∩ An+1)
⎞
⎠
=
n
k=1
⎛
⎝ (−1)
k−1
1i1<··· P(A i1 ∩ · · · ∩ A ik )
⎞
⎠ + P(An+1)
+
n+1
j=2
⎛
⎝ (−1)
j−1
1i1<··· P(A i1 ∩ · · · ∩ A i j−1 ∩ An+1)
⎞
⎠ ,
avec le changement d’indice j = k + 1 dans la seconde somme. Cela peut s’écrire
P
n+1
i=1
A i
=
n+1
k=1
(−1)
k−1
1i1<··· P(A i1 ∩ · · · ∩ A ik ).
En effet dans la première somme, on trouve toutes les intersections dans lesquelles ne figure pas An+1 et dans
la seconde, trouve toutes les intersections de plus de deux événements dans lesquelles figure An+1.
Finalement on a montré
P
n
i=1
A i
=
n
k=1
⎛
⎝ (−1)
k−1
1i1 P(A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik )
⎞
⎠
par récurrence.
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