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Espaces probabilisés
Exemple
Prenons V = N. On définit une probabilité sur
N, P(N)
en posant pour tout n ∈ N,
P
{n}
=
1
2
n+1
.
En effet, on a d’une part, pour tout n ∈ N,
1
2
n+1
> 0 ; d’autre part, la série de terme
général
1
2
n+1
est une série géométrique de raison
1
2
donc convergente et
+∞
n=0
1
2
n+1
=
1
2
+∞
n=0
1
2
n
=
1
2
1
1 −
1
2
= 1.
Calculons la probabilité de l’événement A : « l’entier est pair ». On a A = {2n, n ∈ N} donc
P(A) =
+∞
n=0
P
{2n}
=
+∞
n=0
1
2
2n+1
=
1
2
+∞
n=0
1
4
n
=
1
2
1
1 −
1
4
=
2
3
·
2.3 Formule du crible
La formule du crible permet le calcul de la probabilité d’union de n événements.
Démontrée dans le cas des espaces probabilisés finis en première année, elle reste vraie
dans un espace probabilisé quelconque, avec la même démonstration.
Théorème 6 (Formule du crible ou de Poincaré)
Pour toute famille finie (A 1 , A 2 , . . . , A n ) d’événements de l’espace probabilisé (V, T , P),
où n est un entier naturel non nul,
P
n
i=1
A i
=
n
k=1
⎛
⎝ (−1)
k−1
1i1 P(A i1 ∩ A i2 ∩ · · · ∩ A ik )
⎞
⎠ .
Preuve
Procédons par récurrence sur n.
Pour n = 1, le résultat est trivial. Pour n = 2, la formule du crible s’écrit
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) − P(A1 ∩ A2),
formule qui a été démontrée dans la proposition 1.
Supposons l’égalité vérifiée au rang n 2, et prouvons-la au rang n+1 en considérant une famille (A1, · · · , An+1)
de n + 1 événements de V.
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