Chapitre 7 – Espaces probabilisés
Équiprobabilité
Théorème 4
Sur tout espace probabilisable (V, P(V)) où V est un ensemble fini non vide de cardinal
n, il existe une unique probabilité P prenant la même valeur sur tous les événements
élémentaires.
Pour tout élément v de V, P({v}) =
1
n
et, pour tout événement A,
P(A) =
Card(A)
n
=
Card(A)
Card(V)
·
Définition 12
Pour tout univers V de cardinal fini, la probabilité définie sur (V, P(V)) par
P(A) =
Card(A)
Card(V)
pour tout événement A est appelée la probabilité uniforme sur V.
Cas d’un univers dénombrable
Dans un espace probabilisé
V, P(V)
dont l’univers est dénombrable, une probabilité est, comme dans un espace probabilisé fini, déterminée par la connaissance des
probabilités des événements élémentaires. Nous admettrons le théorème suivant qui
généralise le théorème 3.
Théorème 5
Soit V = {v n , n ∈ N} un ensemble dénombrable. On considère une suite de réels (p n ).
Alors il existe une probabilité P sur (V, P(V)) telle que P({v n }) = p n pour tout n ∈ N si,
et seulement si,
∀n ∈ N p n 0 et
+∞
n=0
p n = 1.
Quand elle existe, la probabilité P est unique et, pour tout événement A, on a
P(A) =
n∈N
vn∈A
p n .
➤ Remarque
Pour tout événement A infini,
n∈N
vn ∈A
pn est la somme d’une série à termes positifs convergente car ses sommes
partielles sont majorées par
+∞
n=0
pn = 1.
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