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Espaces probabilisés
De même, la suite (C n ) n∈N définie par C n =
n
k=0
A k est décroissante et
+∞
n=0
C n =
+∞
n=0
A n .
On a donc
P
+∞
n=0
A n
= P
+∞
n=0
C n
= lim
n→+∞
P(C n ) = lim
n→+∞
P
n
k=0
A k
.
2.2 Probabilité sur un ensemble fini
Dans le cas où V est fini, l’ensemble des événements est fini. Une suite d’événements
incompatibles ne comporte qu’un nombre fini d’événements différents de ∅. La sadditivité est équivalente à l’additivité finie. Celle-ci peut se démontrer à partir de
l’additivité pour deux événements par récurrence sur n. On en déduit le théorème
suivant.
Théorème 2
Soit (V, P(V)) un espace probabilisé fini. Toute application P de P(V) dans R + vérifiant
• P(V) = 1 ;
• pour tous événements A et B incompatibles,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
est une probabilité.
Ainsi une probabilité sur un espace probabilisé fini telle que nous l’avons définie
en première année apparaît comme un cas particulier de la définition donnée pour
un espace probabilisé quelconque. Comme nous l’avons vu en première année, une
probabilité P sur un ensemble probabilisé fini (V, P(V)) est entièrement déterminé
par la connaissance des probabilités des événements élémentaires. Nous avons en effet
démontré le théorème suivant.
Théorème 3
Soit n ∈ N
∗ et V = {v 1 , v 2 , . . . , v n } un ensemble fini. On considère n nombres réels
p 1 , p 2 , . . . , p n .
Alors il existe une probabilité P sur (V, P(V)) telle que P({v i }) = p i pour tout i ∈ [[1, n]]
si, et seulement si,
∀i ∈ [[1, n]] p i 0 et
n
i=1
p i = 1.
Quand elle existe, la probabilité P est unique et, pour tout événement A, on a
P(A) =
i∈[ [1,n] ]
v i ∈A
p i .
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