Chapitre 7 – Espaces probabilisés
Solution.
1. Étant donnée une (A n ) n∈N croissante d’événements, on considère la suite (B n ) définie par
B 0 = A 0 et, pour tout n ∈ N
∗ , B n = A n \ A n−1 .
On note que, pour tout n ∈ N, on a B n ⊂ A n donc
+∞
n=0
B n ⊂
+∞
n=0
A n . Mais d’autre part si
v ∈
+∞
n=0
A n et si m est le plus petit entier k tel que v ∈ A k , on a v ∈ A m \ A m−1 ⊂ B m
donc v ∈
+∞
n=0
B n . On a donc
+∞
n=0
A n =
+∞
n=0
B n . On montre de même que, pour tout n ∈ N,
on a A n =
n
k=0
B k . En effet, on a par définition
n
k=0
B k ⊂
n
k=0
A k ⊂ A n
et réciproquement si v ∈ A n et si m est le plus petit entier k tel que v ∈ A k , on a m n
et v ∈ B m donc v ∈
n
k=0
B k .
Les événements B n étant par définition incompatibles on a
P
+∞
n=0
A n
= P
+∞
n=0
B n
=
+∞
n=0
P(B n ) = lim
n→+∞
n
k=0
P(B k ),
par définition de la somme d’une série. Mais on a, toujours par incompatibilité des événements B n ,
n
k=0
P(B k ) = P
n
k=0
B k
= P(A n ).
Finalement, on obtient
P
+∞
n=0
A n
= lim
n→+∞
P(A n ).
2. Si (A n ) n∈N est une suite décroissante d’événements, la suite (A n ) n∈N est une suite croissante
d’événements. En appliquant les résultats de la première question, on trouve donc
P
+∞
n=0
A n
= lim
n→+∞
P(A n ).
On observe que
+∞
n=0
A n =
+∞
n=0
A n . On en déduit que
P
+∞
n=0
A n
= 1 − P
+∞
n=0
A n
= 1 − lim
n→+∞
P(A n ) = lim
n→+∞
1 − P(A n )
= lim
n→+∞
P(A n ).
3. La suite (B n ) n∈N définie par B n =
n
k=0
A k est croissante et
+∞
n=0
B n =
+∞
n=0
A n . On a donc
P
+∞
n=0
A n
= P
+∞
n=0
B n
= lim
n→+∞
P(B n ) = lim
n→+∞
P
n
k=0
A k
.
204