© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Espaces probabilisés
Pour tout système complet d’événements dénombrable (A i ) i∈N de (V, T , P) et tout événement B, la série de terme général P(B ∩ A i ) converge et sa somme vaut P(B).
Preuve
• Soit (A1, . . . , An) un système complet d’événements. Comme les événements A1, . . . , An sont deux à deux
incompatibles, les événements B ∩ A1, . . . , B ∩ An sont aussi deux à deux incompatibles.
Par additivité finie, on obtient, P
n
i=1
(B ∩ A i )
=
n
i=1
P(B ∩ A i ).
Comme
n
i=1
(B ∩ A i ) = B ∩ (
n
i=1
A i ) = B ∩ V = B, on obtient
P(B) =
n
i=1
P(B ∩ A i ).
• Soit (A i ) i∈N un système complet d’événements. Le raisonnement est identique.
Les événements B ∩ A i sont deux à deux incompatibles, donc par s-additivité, la série de terme général
P(B ∩ A i ) converge et
P
i∈N
(B ∩ A i )
=
+∞
i=0
P(B ∩ A i ).
Comme
i∈N
(B ∩ A i ) = B, on a le résultat voulu.
❑
La propriété de la limite monotone qui fait l’objet de l’exercice suivant est une conséquence très forte de la s-additivité.
Exercice 1. Propriété de la limite monotone
Soit (V, T , P) un espace probabilisé.
1. Montrer que, pour toute suite (A n ) n∈N croissante d’éléments de T , c’est-à-dire vérifiant
A n ⊂ A n+1 pour tout entier n de N, on a
P
+∞
n=0
A n
= lim
n→+∞
P(A n ).
2. Montrer que, pour toute suite (A n ) n∈N décroissante d’éléments de T , c’est-à-dire vérifiant
A n+1 ⊂ A n pour tout entier n de N, on a
P
+∞
n=0
A n
= lim
n→+∞
P(A n ).
3. En déduire que, pour toute suite (A n ) n∈N d’événements d’un espace probabilisé (V, T , P),
on a
P
+∞
n=0
A n
= lim
n→+∞
P
n
k=0
A k
,
P
+∞
n=0
A n
= lim
n→+∞
P
n
k=0
A k
.
203