Chapitre 7 – Espaces probabilisés
Définition 11
Soit (V, T , P) un espace probabilisé. Tout événement A tel que P(A) = 0, différent de
∅, est dit négligeable ou quasi-impossible.
Tout événement de probabilité 1, différent de V, est dit presque certain ou quasicertain.
Toute propriété vérifiée sur un ensemble de probabilité 1 est dite presque sûrement
vraie ou presque sûre.
➤ Remarque
Nous verrons que dans le cas d’un univers infini, un événement A peut être quasi-impossible, c’est-à-dire de
probabilité nulle, sans que A = ∅ (cf l’étude du jeu de pile ou face, paragraphe 2.4.2 page 210). L’événement
contraire est alors quasi-certain, c’est-à-dire de probabilité 1, sans être égal à V.
Propriétés des systèmes complets d’événements
Proposition 4
Pour tout système complet fini d’événements (A 1 , . . . , A n ) de l’espace probabilisé
(V, T , P), on a
n
i=1
P(A i ) = 1.
Pour tout système complet dénombrable d’événements (A i ) i∈N de V, la série de terme
général P(A i ) converge et
+∞
i=0
P(A i ) = 1.
Preuve
• Soit (A1, . . . , An) un système complet d’événements de V.
Par additivité finie, comme la famille (A1, . . . , An) est une famille d’événements deux à deux incompatibles,
P(
n
i=1
A i ) =
n
i=1
P(A i ).
De l’égalité
n
i=0
A i = V découle
n
i=1
P(A i ) = 1.
• Soit (A i ) i∈N un système complet d’événements de V.
Les événements A i sont deux à deux incompatibles, donc par s-additivité de la probabilité P, la série de
terme général P(A i ) converge et
P(
i∈N
A i ) =
+∞
i=0
P(A i ).
Or, par définition d’un système complet d’événements,
i∈N
A i = V, d’où le résultat.
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Proposition 5
Pour tout système complet fini d’événements (A 1 , . . . , A n ) de l’espace probabilisé
(V, T , P) et tout événement B, on a
P(B) =
n
i=1
P(B ∩ A i ).
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