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Espaces probabilisés
Preuve
1. Considérons la famille d’événements incompatibles (A i ) i∈N où A i = ∅ pour tout entier naturel i. Alors, par
définition d’une probabilité, la série de terme général constant P(∅) converge, d’où P(∅) = 0.
2. Soit (A1, . . . , An) une famille finie d’événements deux à deux incompatibles. La suite (A k ) k∈N , où A k = ∅
pour tout entier k n + 1 et pour k = 0, est une famille d’événements deux à deux incompatibles.
Alors, par définition de la probabilité,
P
+∞
k=0
A k
=
+∞
k=0
P(A k ) = P(A0) +
n
k=0
P(A k ) +
+∞
i=n+1
P(A k ).
Comme P(∅) = 0 et
+∞
k=0
A k = A1 ∪ . . . ∪ An, on obtient
P(A1 ∪ . . . ∪ An) =
n
k=1
P(A k ).
Ainsi la seconde propriété de la définition d’une probabilité est vraie pour une réunion finie. En particulier,
pour deux événements incompatibles, on trouve
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
3. On a par définition, puisque A et A sont incompatibles,
P(A) + P(A) = P
A ∪ A
= P(V) = 1
et donc P(A) = 1 − P(A). Comme P(A) 0, on en déduit P(A) 1 et donc P(A) ∈ [0, 1].
4. Si A ⊂ B, B est la réunion des événements incompatibles A et B \ A et donc
P(B) = P(A) + P(B \ A) P(A).
On en déduit P(B \ A) = P(B) − P(A).
5. L’événement A ∪ B est la réunion des deux événements incompatibles A et B \ A ; d’autre part, B est la
réunion des événements incompatibles A ∩ B et B \ A. On a donc
P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ A) et P(B) = P(A ∩ B) + P(B \ A).
On en déduit que
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
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➤ Remarque
Ainsi toute probabilité est une application à valeurs dans [0, 1].
Corollaire 1
Pour tout couple d’événements (A, B) de l’espace probabilisé (V, T , P), on a
P(A ∪ B) P(A) + P(B).
Preuve
Cela découle directement du point 5 du théorème précédent.
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