Chapitre 7 – Espaces probabilisés
• pour toute suite (A i ) i∈N d’événements deux à deux incompatibles, la série de terme
général P(A i ) converge et
P
i∈N
A i
=
+∞
i=0
P(A i ).
Pour tout A élément de T , P(A) est appelée la probabilité de l’événement A.
➤ Remarques
• Le nombre
+∞
i=0
P(A i ) est la somme d’une série à termes positifs.
• La seconde propriété est appelée la s-additivité.
• Il résulte de la définition que les événements sont les parties de V auxquelles on peut associer une probabilité.
Définition 10
Un espace probabilisé est un triplet (V, T , P), où (V, T ) est un espace probabilisable et
P une probabilité sur (V, T ).
Propriétés
Théorème 1
Soit (V, T , P) un espace probabilisé. On a alors :
1. P(∅) = 0 ;
2. pour toute famille finie (A 1 , A 2 , . . . , A n ) d’événements deux à deux incompatibles,
P (A 1 ∪ . . . ∪ A n ) =
n
k=1
P(A k ).
En particulier, pour tout couple (A, B) d’événements incompatibles
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ;
3. pour tout événement A,
P(A) = 1 − P(A)
et
0 P(A) 1;
4. pour tout couple (A, B) d’événements vérifiant A ⊂ B, on a
P(B \ A) = P(B) − P(A)
et donc
P(A) P(B) ;
on dit que l’application P est croissante ;
5. pour tout couple (A, B) d’événements,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
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