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Espaces probabilisés
1.4 Systèmes complet d’événements
Définition 8
Soit (V, T ) un espace probabilisable.
On appelle système complet d’événements de cet espace probabilisable toute famille
finie ou dénombrable (A i ) i∈I d’événements, où I = N ou I = [[1, n]] (n ∈ N
∗ ), telle que
• pour tout couple (i, j) d’éléments distincts de I, A i ∩ A j = ∅ ;
•
i∈I
A i = V.
➤ Remarques
• Si (A i ) i∈I est un système complet d’événements de V, alors (A i ) i∈I est une partition de V si, et seulement si,
tous les A i sont différents de ∅. Certains auteurs ajoutent cette condition à la définition des systèmes complets.
• Si le système complet d’événements est dénombrable, on prend souvent I = N ∗ plutôt que N.
Proposition 3
Soit (V, T ) un espace probabilisable.
• Pour tout événement A de V, la famille (A, A) est un système complet d’événements.
• Si l’univers est fini V = {v 1 , . . . , v n }, alors la famille
{v 1 }, {v 2 }, . . . , {v n }
, formée des événements élémentaires, est un système complet d’événements.
• Plus généralement, pour tout univers au plus dénombrable V = {v i , i ∈ N}, la famille
{v i }
i∈N
, formée des événements élémentaires est un système complet d’événements.
2. Espaces probabilisés
Dans le cas d’un univers fini, on a défini une probabilité comme une application
de P(V) dans [0, 1] additive, c’est-à-dire vérifiant P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pour
tout couple d’événements incompatibles (A, B). Pour traiter le cas où V est infini, on
impose une condition d’additivité plus forte.
2.1 Probabilité
Définitions
Définition 9
On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (V, T ) toute application P de T dans
R + vérifiant
• P(V) = 1,
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