Chapitre 7 – Espaces probabilisés
Proposition 2
Soit (V, T ) un espace probabilisable. Alors
• ∅ appartient à T ;
• T est stable par intersection dénombrable, c’est-à-dire que, si (A n ) n∈N est une suite
d’éléments de T , alors
n∈N
A n appartient à T ;
• T est stable par réunion et intersection finie, c’est-à-dire que, étant donné un nombre
fini A 1 , . . . , A n d’éléments de T , A 1 ∪ . . . ∪ A n et A 1 ∩ . . . ∩ A n appartiennent à T ;
• pour tous éléments A et B de T , A \ B et ADB appartiennent à T .
Preuve
• ∅ appartient à T car V appartient à T et T est stable par passage au complémentaire.
• Soit (An) n∈N d’éléments de T . Pour tout entier n, An appartient à T , donc
+∞
n=0
An appartient à T . Comme
+∞
n=0
An =
+∞
n=0
An, on en déduit que
+∞
n=0
An appartient à T , par passage au complémentaire.
• Si A1, . . . , An sont des éléments de T , en posant A i = ∅ si i = 0 ou i > n, on obtient, par stabilité par
réunion dénombrable
+∞
i=0
A i ∈ T , c’est-à-dire A1 ∪ . . . ∪ An ∈ T .
De même, en posant A0 = V et A i = V pour i > n, on obtient, par stabilité par intersection dénombrable,
+∞
i=0
A i ∈ T , c’est-à-dire A1 ∩ . . . ∩ An ∈ T .
• Si A et B appartiennent à T , il en est de même de A \ B = A ∩ B et ADB = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A), d’après les
propriétés précédentes.
❑
➤ Remarques
• Soit V un ensemble et T une partie de P(V). On dit que T est une tribu de V si
• V appartient à T ;
• T est stable par passage au complémentaire, c’est-à-dire que, pour tout élément A de T , A appartient à
T ;
• T est stable par réunion dénombrable,
On pourrait donc dire qu’un espace probabilisable est un couple (V, T ), où T est une tribu sur V. Cependant,
la notion de tribu n’est pas au programme.
• Dans le cas où l’univers V est fini ou dénombrable, l’ensemble des événements est P(V) et l’espace
probabilisé est
V, P(V)
.
On peut noter également que si V est un ensemble fini, alors P(V) est également fini. Toute intersection (resp.
réunion) au plus dénombrable d’éléments de T se réduit à une intersection (resp. une réunion finie). La stabilité par réunion ou intersection dénombrable est une notion inutile dans un espace probabilisable
fini.
• Dans le cas où V n’est pas dénombrable, construire un espace probabilisable (V, T ) qui permette de décrire
la situation est très difficile. Dans la pratique l’existence d’un tel espace probabilisable sera une donnée de
l’énoncé.
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Proposition 2
Soit (V, T ) un espace probabilisable. Alors
• ∅ appartient à T ;
• T est stable par intersection dénombrable, c’est-à-dire que, si (A n ) n∈N est une suite
d’éléments de T , alors
n∈N
A n appartient à T ;
• T est stable par réunion et intersection finie, c’est-à-dire que, étant donné un nombre
fini A 1 , . . . , A n d’éléments de T , A 1 ∪ . . . ∪ A n et A 1 ∩ . . . ∩ A n appartiennent à T ;
• pour tous éléments A et B de T , A \ B et ADB appartiennent à T .
Preuve
• ∅ appartient à T car V appartient à T et T est stable par passage au complémentaire.
• Soit (An) n∈N d’éléments de T . Pour tout entier n, An appartient à T , donc
+∞
n=0
An appartient à T . Comme
+∞
n=0
An =
+∞
n=0
An, on en déduit que
+∞
n=0
An appartient à T , par passage au complémentaire.
• Si A1, . . . , An sont des éléments de T , en posant A i = ∅ si i = 0 ou i > n, on obtient, par stabilité par
réunion dénombrable
+∞
i=0
A i ∈ T , c’est-à-dire A1 ∪ . . . ∪ An ∈ T .
De même, en posant A0 = V et A i = V pour i > n, on obtient, par stabilité par intersection dénombrable,
+∞
i=0
A i ∈ T , c’est-à-dire A1 ∩ . . . ∩ An ∈ T .
• Si A et B appartiennent à T , il en est de même de A \ B = A ∩ B et ADB = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A), d’après les
propriétés précédentes.
❑
➤ Remarques
• Soit V un ensemble et T une partie de P(V). On dit que T est une tribu de V si
• V appartient à T ;
• T est stable par passage au complémentaire, c’est-à-dire que, pour tout élément A de T , A appartient à
T ;
• T est stable par réunion dénombrable,
On pourrait donc dire qu’un espace probabilisable est un couple (V, T ), où T est une tribu sur V. Cependant,
la notion de tribu n’est pas au programme.
• Dans le cas où l’univers V est fini ou dénombrable, l’ensemble des événements est P(V) et l’espace
probabilisé est
V, P(V)
.
On peut noter également que si V est un ensemble fini, alors P(V) est également fini. Toute intersection (resp.
réunion) au plus dénombrable d’éléments de T se réduit à une intersection (resp. une réunion finie). La stabilité par réunion ou intersection dénombrable est une notion inutile dans un espace probabilisable
fini.
• Dans le cas où V n’est pas dénombrable, construire un espace probabilisable (V, T ) qui permette de décrire
la situation est très difficile. Dans la pratique l’existence d’un tel espace probabilisable sera une donnée de
l’énoncé.
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