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Espaces probabilisables
➤ Remarque
Dans le cas où V n’est pas fini, il apparaît nécessaire de considérer des réunions dénombrables d’événements.
Exemple
Reprenons l’expérience consistant à lancer une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile. L’événement A n : « l’expérience se termine après le n-ième lancer » s’écrit
A n =
+∞
k=n+1
{(F, . . . , F
k−1 termes
, P)}.
C’est une réunion dénombrables d’événements élémentaires.
Il semble donc nécessaire, en plus des propriétés précédentes de supposer que l’ensemble des événements est stable par réunion dénombrable, c’est-à-dire que,
si (A n ) n∈N est une suite d’événements, alors
n∈N
A n est un événement.
1.3 L’ensemble des événements
On note T l’ensemble des événements. C’est un sous-ensemble de P(V). Dans le
cas où V est fini ou dénombrable, nous considérerons que toute partie de V est un
événement et prendrons T = P(V), ensemble de toutes les parties de V. Mais si V
n’est pas dénombrable, il n’est pas possible de prendre T = P(V), car cela interdit de
définir une probabilité raisonnable ; T sera alors une partie stricte de P(V) qui vérifie
toutes les propriétés mises en évidence précédemment.
Cela nous conduit à la définition suivante.
Définition 7
On appelle espace probabilisable un couple (V, T ) constitué d’un ensemble V et d’un
sous-ensemble T de P(V) vérifiant les propriétés suivantes :
• V appartient à T ;
• T est stable par passage au complémentaire, c’est-à-dire que, pour tout élément A de
T , A appartient à T ;
• T est stable par réunion dénombrable, c’est-à-dire que, si (A n ) n∈N est une suite d’éléments de T , alors
n∈N
A n appartient à T .
L’ensemble V est appelé l’univers ; tout élément de T est appelé un événement de V.
Le théorème suivant nous montre que l’on retrouve ainsi toutes les propriétés que
l’on souhaitait voir vérifiées par l’ensemble des événements.
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Espaces probabilisables
➤ Remarque
Dans le cas où V n’est pas fini, il apparaît nécessaire de considérer des réunions dénombrables d’événements.
Exemple
Reprenons l’expérience consistant à lancer une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile. L’événement A n : « l’expérience se termine après le n-ième lancer » s’écrit
A n =
+∞
k=n+1
{(F, . . . , F
k−1 termes
, P)}.
C’est une réunion dénombrables d’événements élémentaires.
Il semble donc nécessaire, en plus des propriétés précédentes de supposer que l’ensemble des événements est stable par réunion dénombrable, c’est-à-dire que,
si (A n ) n∈N est une suite d’événements, alors
n∈N
A n est un événement.
1.3 L’ensemble des événements
On note T l’ensemble des événements. C’est un sous-ensemble de P(V). Dans le
cas où V est fini ou dénombrable, nous considérerons que toute partie de V est un
événement et prendrons T = P(V), ensemble de toutes les parties de V. Mais si V
n’est pas dénombrable, il n’est pas possible de prendre T = P(V), car cela interdit de
définir une probabilité raisonnable ; T sera alors une partie stricte de P(V) qui vérifie
toutes les propriétés mises en évidence précédemment.
Cela nous conduit à la définition suivante.
Définition 7
On appelle espace probabilisable un couple (V, T ) constitué d’un ensemble V et d’un
sous-ensemble T de P(V) vérifiant les propriétés suivantes :
• V appartient à T ;
• T est stable par passage au complémentaire, c’est-à-dire que, pour tout élément A de
T , A appartient à T ;
• T est stable par réunion dénombrable, c’est-à-dire que, si (A n ) n∈N est une suite d’éléments de T , alors
n∈N
A n appartient à T .
L’ensemble V est appelé l’univers ; tout élément de T est appelé un événement de V.
Le théorème suivant nous montre que l’on retrouve ainsi toutes les propriétés que
l’on souhaitait voir vérifiées par l’ensemble des événements.
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