Chapitre 7 – Espaces probabilisés
Définition 4
Pour tous événements A et B d’un univers V, on dit que l’événement A implique
l’événement B si A ⊂ B, c’est-à-dire si, lorsque A est réalisé, B est réalisé aussi.
Définition 5
Soit V un univers. Deux événements A et B de V tels que A ∩ B = ∅ sont dits incompatibles.
➤ Remarque
Si A est un événement, alors A et son contraire A sont incompatibles.
Opérations sur les événements
Si A et B sont deux événements liés à la même expérience, il est naturel de considérer
que la non réalisation de A, la réalisation simultanée de A et B, la réalisation de l’un
au moins des événements A et B sont des événements.
Définition 6
Soit V un univers.
Pour tout événement A de V, le complémentaire de A dans V, noté A, est un événement,
appelé l’événement contraire de A.
La réunion A ∪ B de deux événements A et B de V est un événement, appelé « A ou B ».
L’intersection A ∩ B de deux événements A et B de V est un événement, appelé « A et
B ».
➤ Remarque
On rappelle les lois de Morgan, utiles dans les démonstrations qui suivent : toutes parties A et B de V vérifient
les relations
A ∪ B = A ∩ B et A ∩ B = A ∪ B.
Du fait que la réunion et l’intersection de deux événements et le complémentaire
d’un événement est un événement, on tire les proposition suivantes.
Proposition 1
L’intersection et la réunion d’un nombre fini d’événements sont des événements.
Preuve
Soit A1, . . . , An des événements.
On montre par récurrence sur n ∈ N que A1 ∪ . . . ∪ An est un événement. C’est vrai pour n = 1 et si c’est vrai
au rang n, on considère des événements A1, . . . , An+1. Alors A1 ∪ . . . ∪ An est un événement, par hypothèse de
récurrence, et
A1 ∪ . . . ∪ An+1 =
A1 ∪ . . . ∪ An
∪ An+1
est un événement car réunion de deux événements.
Comme le complémentaire d’un événement est événement, A1, . . . , An sont des événements donc A1 ∪. . .∪An
est un événement d’après le premier point et donc
A1 ∩ . . . ∩ An = A1 ∪ . . . ∪ An
est un événement car complémentaire d’un événement.
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Définition 4
Pour tous événements A et B d’un univers V, on dit que l’événement A implique
l’événement B si A ⊂ B, c’est-à-dire si, lorsque A est réalisé, B est réalisé aussi.
Définition 5
Soit V un univers. Deux événements A et B de V tels que A ∩ B = ∅ sont dits incompatibles.
➤ Remarque
Si A est un événement, alors A et son contraire A sont incompatibles.
Opérations sur les événements
Si A et B sont deux événements liés à la même expérience, il est naturel de considérer
que la non réalisation de A, la réalisation simultanée de A et B, la réalisation de l’un
au moins des événements A et B sont des événements.
Définition 6
Soit V un univers.
Pour tout événement A de V, le complémentaire de A dans V, noté A, est un événement,
appelé l’événement contraire de A.
La réunion A ∪ B de deux événements A et B de V est un événement, appelé « A ou B ».
L’intersection A ∩ B de deux événements A et B de V est un événement, appelé « A et
B ».
➤ Remarque
On rappelle les lois de Morgan, utiles dans les démonstrations qui suivent : toutes parties A et B de V vérifient
les relations
A ∪ B = A ∩ B et A ∩ B = A ∪ B.
Du fait que la réunion et l’intersection de deux événements et le complémentaire
d’un événement est un événement, on tire les proposition suivantes.
Proposition 1
L’intersection et la réunion d’un nombre fini d’événements sont des événements.
Preuve
Soit A1, . . . , An des événements.
On montre par récurrence sur n ∈ N que A1 ∪ . . . ∪ An est un événement. C’est vrai pour n = 1 et si c’est vrai
au rang n, on considère des événements A1, . . . , An+1. Alors A1 ∪ . . . ∪ An est un événement, par hypothèse de
récurrence, et
A1 ∪ . . . ∪ An+1 =
A1 ∪ . . . ∪ An
∪ An+1
est un événement car réunion de deux événements.
Comme le complémentaire d’un événement est événement, A1, . . . , An sont des événements donc A1 ∪. . .∪An
est un événement d’après le premier point et donc
A1 ∩ . . . ∩ An = A1 ∪ . . . ∪ An
est un événement car complémentaire d’un événement.
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