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Les probabilités conditionnelles
Proposition 6
Pour tous événements A et B d’un espace probabilisé (V, T , P), on a
P(A ∩ B) = P(A)P A (B) si P(A) = 0 ; P(A ∩ B) = P(B)P B (A) si P(B) = 0.
Exercice 3.
1. Le tiers d’une population a été vacciné contre une maladie. Au cours d’une épidémie, on
constate que, sur quinze malades, il y a deux personne vaccinées. Le vaccin est-il efficace ?
2. On suppose de plus que sur cent personne vaccinées, huit sont malades. Quelle est la
proportion de malades dans la population ?
Solution.
1. Pour le savoir, on compare la probabilité d’être malade P(M) avec celle d’être malade
sachant que l’on a été vacciné P(M/V ). On a P(V ) =
1
3
et P(V /M) =
2
15
· On en déduit
P(M/V ) =
P(V ∩ M)
P(V )
=
P(V /M)P(M)
P(V )
=
2
5
P(M).
On a donc P(M/V ) < P(M). Le vaccin possède donc une certaine efficacité.
2. On a donc P(M/V ) =
8
100
=
2
25
· Or P(M/V ) =
2
5
P(M) d’où P(M) =
1
5
· Il y a donc
20% de malades.
La formule précédente se généralise à l’intersection de n événements.
Théorème 8 (Formule des probabilités composées)
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Pour toute famille finie (A 1 , A 2 , · · · , A n ) d’événements de l’espace probabilisé (V, T , P)
tels que P(A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) = 0, on a
P(A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n−1 ∩ A n ) = P(A 1 )P A1 (A 2 )P A1∩A2 (A 3 ) · · · P A1∩A2∩···∩An−1 (A n ).
Preuve
Pour tout entier k compris entre 1 et n − 1, (A1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) ⊂ (A1 ∩ · · · ∩ A k ), d’où
P(A1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) P(A1 ∩ · · · ∩ A k ).
Comme P(A1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) = 0, on a a fortiori P(A1 ∩ · · · ∩ A k ) = 0. Donc toutes les probabilités conditionnelles
figurant dans la formule existent bien.
Faisons une démonstration par récurrence sur n.
• Si n = 2, nous avons vu le résultat P(A1 ∩ A2) = P(A1)PA 1 (A2) dans la proposition précédente.
• Supposons l’égalité acquise pour n événements et considérons n + 1 événements tels que
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = 0. D’après la formule au rang 2,
P(A1 ∩ · · · ∩ An+1) = PA 1 ∩···∩An (An+1)P(A1 ∩ · · · ∩ An).
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Les probabilités conditionnelles
Proposition 6
Pour tous événements A et B d’un espace probabilisé (V, T , P), on a
P(A ∩ B) = P(A)P A (B) si P(A) = 0 ; P(A ∩ B) = P(B)P B (A) si P(B) = 0.
Exercice 3.
1. Le tiers d’une population a été vacciné contre une maladie. Au cours d’une épidémie, on
constate que, sur quinze malades, il y a deux personne vaccinées. Le vaccin est-il efficace ?
2. On suppose de plus que sur cent personne vaccinées, huit sont malades. Quelle est la
proportion de malades dans la population ?
Solution.
1. Pour le savoir, on compare la probabilité d’être malade P(M) avec celle d’être malade
sachant que l’on a été vacciné P(M/V ). On a P(V ) =
1
3
et P(V /M) =
2
15
· On en déduit
P(M/V ) =
P(V ∩ M)
P(V )
=
P(V /M)P(M)
P(V )
=
2
5
P(M).
On a donc P(M/V ) < P(M). Le vaccin possède donc une certaine efficacité.
2. On a donc P(M/V ) =
8
100
=
2
25
· Or P(M/V ) =
2
5
P(M) d’où P(M) =
1
5
· Il y a donc
20% de malades.
La formule précédente se généralise à l’intersection de n événements.
Théorème 8 (Formule des probabilités composées)
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Pour toute famille finie (A 1 , A 2 , · · · , A n ) d’événements de l’espace probabilisé (V, T , P)
tels que P(A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) = 0, on a
P(A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n−1 ∩ A n ) = P(A 1 )P A1 (A 2 )P A1∩A2 (A 3 ) · · · P A1∩A2∩···∩An−1 (A n ).
Preuve
Pour tout entier k compris entre 1 et n − 1, (A1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) ⊂ (A1 ∩ · · · ∩ A k ), d’où
P(A1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) P(A1 ∩ · · · ∩ A k ).
Comme P(A1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) = 0, on a a fortiori P(A1 ∩ · · · ∩ A k ) = 0. Donc toutes les probabilités conditionnelles
figurant dans la formule existent bien.
Faisons une démonstration par récurrence sur n.
• Si n = 2, nous avons vu le résultat P(A1 ∩ A2) = P(A1)PA 1 (A2) dans la proposition précédente.
• Supposons l’égalité acquise pour n événements et considérons n + 1 événements tels que
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = 0. D’après la formule au rang 2,
P(A1 ∩ · · · ∩ An+1) = PA 1 ∩···∩An (An+1)P(A1 ∩ · · · ∩ An).
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