7
Espaces probabilisés
En première année, nous avons présenté la notion d’espace probabilisé dans le cas
particulier d’un univers fini. Nous allons généraliser les définitions à un univers quelconque, en nous concentrant sur le cas où l’univers n’est pas fini. La théorie est plus
compliquée : une partie de l’univers n’est pas nécessairement un événement ; l’additivité de la probabilité s’étend aux réunions dénombrables d’événements incompatibles ;
les systèmes complets d’événements peuvent être dénombrables et pas seulement finis.
1. Espaces probabilisables
1.1 Expérience aléatoire
On rappelle qu’on appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat ne peut
pas être prévu de manière certaine. En général, l’ensemble des résultats possibles d’une
expérience aléatoire est connu ou peut au moins être inclus dans un ensemble connu.
Définition 1
L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers (ou univers des possibles, ou ensemble fondamental), noté en général V.
Un élément de cet ensemble V est appelé un possible ou une éventualité.
Il est dit réalisé s’il est effectivement constaté lors d’un déroulement particulier de l’expérience.
Exemples
1. Soit l’expérience consistant à lancer une pièce de monnaie et à s’arrêter dés que l’on obtient
pile pour la première fois. Si l’on obtient pile au n-ième lancer, le résultat obtenu pourra
être représenté par la suite (F, . . . , F, P)
n termes
. Mais il se peut que l’on obtienne jamais pile,
résultat qu’on peut représenter par une infinité de F. En notant v 0 ce résultat, on obtient
V = {(F, . . . , F, P
n termes
, n ∈ N
∗
} ∪ {v 0 }.
Espaces probabilisés
En première année, nous avons présenté la notion d’espace probabilisé dans le cas
particulier d’un univers fini. Nous allons généraliser les définitions à un univers quelconque, en nous concentrant sur le cas où l’univers n’est pas fini. La théorie est plus
compliquée : une partie de l’univers n’est pas nécessairement un événement ; l’additivité de la probabilité s’étend aux réunions dénombrables d’événements incompatibles ;
les systèmes complets d’événements peuvent être dénombrables et pas seulement finis.
1. Espaces probabilisables
1.1 Expérience aléatoire
On rappelle qu’on appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat ne peut
pas être prévu de manière certaine. En général, l’ensemble des résultats possibles d’une
expérience aléatoire est connu ou peut au moins être inclus dans un ensemble connu.
Définition 1
L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers (ou univers des possibles, ou ensemble fondamental), noté en général V.
Un élément de cet ensemble V est appelé un possible ou une éventualité.
Il est dit réalisé s’il est effectivement constaté lors d’un déroulement particulier de l’expérience.
Exemples
1. Soit l’expérience consistant à lancer une pièce de monnaie et à s’arrêter dés que l’on obtient
pile pour la première fois. Si l’on obtient pile au n-ième lancer, le résultat obtenu pourra
être représenté par la suite (F, . . . , F, P)
n termes
. Mais il se peut que l’on obtienne jamais pile,
résultat qu’on peut représenter par une infinité de F. En notant v 0 ce résultat, on obtient
V = {(F, . . . , F, P
n termes
, n ∈ N
∗
} ∪ {v 0 }.