Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
3. Soit D =
(x, y) ∈ R
2 ; x 0, y 0, y + x 1
,
calculer
D
ln(1 + x + y) dxdy.
12.
1. Soit D =
(x, y) ∈ R
2 ; x
2 + y
2
− 2y 0
,
calculer
D
(x + y) dxdy.
2. Soit D =
(x, y) ∈ R
2 ; y x, x
2 + y
2
− 2x 0
,
calculer
D
x 2 + y 2 dxdy.
3. Soit D l’intérieur du triangle de sommets (0, 0), (3, 0), (3, 3),
calculer
D
x 2 + y 2 dxdy.
4. Soit D =
(x, y) ∈ R
2 ; x 0, x
2 + y
2
4
,
calculer
D
cos(x
2 + y
2 ) dxdy.
13.
1. Soit D =
(x, y) ∈ R
2 ; x
2 + y
2
1, x
2 + y
2
− 2y 0
,
calculer l’aire de D.
2. Soit D =
(x, y) ∈ R
2 ; x 0, y 0, x
2 + y
2
√ xy
,
calculer l’aire de D.
3. Soient a un réel strictement positif et soit
V =
(x, y, z) ∈ R
3 ; x
2 + y
2 + z
2
a
2 , x
2 + y
2
− ax 0
,
calculer le volume de V .
14.
Montrer que l’intégrale
[0,∞[×[0,∞[
e
−(x+y) (x + y)
2 dxdy converge et calculer sa
valeur.
15.
1. Montrer que l’intégrale
[0,∞[×[0,∞[
dxdy
(1 + xy 2 )(1 + x)
converge et calculer sa
valeur, soit I cette valeur.
2. Comparer I et
1
0
ln t
t 2 − 1
dt.
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