EXERCICES
8.
1. Soit (a, b) ∈ R
2 , montrer que l’intégrale
1
0
(− ln t)
a (1 − t)
b dt converge si et
seulement si a + b > −1. On notera D = {(a, b) ∈ R
2 ; a + b > −1}.
2. Montrer que pour tout n ∈ N
∗ et pour tout (a, n) ∈ D, on a :
1
0
(− ln t)
a (1 − t)
n dt = G(a + 1)
n
k=0
(−1)
k
n
k
(k + 1) a+1 ·
3. On suppose a = 1 et b = −1.
Montrer que pour tout t ∈ [0, 1[ ,
1
1 − t
=
n
k=0
t
k +
t
n+1
1 − t
,
en déduire que
1
0
− ln t
1 − t
dt =
∞
n=1
1
n 2 ·
9.
Soit a un réel strictement positif.
1. Montrer que la série
n∈N
e
−a
√
n est convergente.
2. On pose S n (a) =
n
k=0
e
−a
√
k , S(a) =
+∞
k=0
e
−a
√
k et I n (a) =
n
0
e
−a
√
t dt.
Montrer que S n (a) − 1 I n (a) S n (a).
En déduire que S(a) − 1
2
a 2 S(a).
3. Déterminer un équivalent de S(a) au voisinage de zéro.
10.
1. Soit a un réel non nul, calculer
p/2
0
dt
1 + a 2 sin
2 t
·
2. Montrer que pour tout n ∈ N,
(n+1)p
np
1
1 + e t sin
2 t
dt
p
0
dt
1 + e np sin
2 t
·
3. Montrer que la série
n∈N
p
0
dt
1 + e np sin
2 t
converge.
4. En déduire que l’intégrale
∞
0
dt
1 + e t sin 2 t
converge.
11.
1. Soit D =
(x, y) ∈ R
2 ; y + x 0, y − 2x 0, 0 y 4
,
calculer
D
e
x
y dxdy.
2. Soit D =
(x, y) ∈ R
2 ; y − x 0, x
2 + y 0
,
calculer
D
√
y − x dxdy.
191