Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
4.
1. En utilisant une intégration par parties, montrer que l’intégrale
+∞
0
sin t
t
dt
converge et que
+∞
0
sin t
t
dt =
+∞
0
1 − cos t
t 2
dt·
2. Montrer que
∞
0
sin t
t
dt =
+∞
0
sin
2 t
t 2 dt·
5.
Intégrales de Bertrand
Soit (a, b) ∈ R
2 , on se propose d’étudier la nature de l’intégrale
+∞
e
(ln t)
b
t a dt·
1. On suppose a > 1 et l’on pose a = 1 + 2h. On a alors
(ln t)
b
t a =
(ln t)
b
t h
1
t 1+h , en déduire la
nature de
+∞
e
(ln t)
b
t a dt·
2. On suppose a < 1 et l’on pose a = 1 − 2h. On a alors
(ln t)
b
t a = t
h (ln t)
b 1
t 1−h , en déduire
la nature de
+∞
e
(ln t)
b
t a dt·
3. Étudier maintenant le cas où a = 1.
6.
1. Soit c un réel strictement positif, montrer que quels que soient les réels ´ et x tels
que 0 < ´ < x, on a
x
´
e
−t
− e
−ct
t
dt =
c´
´
e
−t
t
dt −
cx
x
e
−t
t
dt.
2. Montrer que lim
x→+∞
cx
x
e
−t
t
dt = 0.
3. Montrer que lim
´→+∞
c´
´
e
−t
t
dt = ln c.
4. En déduire que
+∞
0
e
−t
− e
−ct
t
dt converge et que
+∞
0
e
−t
− e
−ct
t
dt = ln c.
5. Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b, montrer que
+∞
0
e
−at
− e
−bt
t
dt converge et
que
+∞
0
e
−at
− e
−bt
t
dt = ln
b
a
·
7.
Montrer que l’intégrale
+∞
0
Arctan pt − Arctan t
t
dt converge et calculer sa
valeur. (On utilisera des méthodes analogues à celles qui sont utilisées dans l’exercice
précédent).
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