1.
1. Montrer que l’intégrale
∞
1
1
t
− Arcsin
1
t
dt converge et la calculer.
2. Soit n ∈ N
∗ , montrer que l’intégrale
1
0
(ln t)
n dt converge et la calculer.
3. Déterminer l’ensemble I des réels x tels que
1
0
t
−x ln t dt converge. Pour tout x dans I
calculer
1
0
t
−x ln t dt.
4. Déterminer l’ensemble I des réels x tels que
∞
0
e
−xt sin t dt converge. Pour tout x dans I
calculer
∞
0
e
−xt sin t dt.
2.
Déterminer, dans chacun des cas suivants, l’ensemble des réels x tels que l’intégrale
proposée converge.
1.
+∞
0
Arctan
x
t
1 + t 2 dt.
2.
+∞
0
e
−xt sin t
t
dt.
3.
+∞
0
e
−xt
2
1 + t 2 dt.
4.
+∞
0
1 − cos tx
t 2
e
−t dt.
5.
1
0
1 − t
ln t
t
x dt.
6.
1
0
ln t ln(1 − t)
t
t
−x dt.
3.
Intégrale de Gauss
1. Montrer que pour tout n ∈ N
∗ , et pour tout t ∈
0,
√
n
on a
1 −
t
2
n
n
e
−t
2
1
1 +
t
2
n
n ·
2. Montrer que
√
n
0
1 −
t
2
n
n
dt =
√
n
p/2
0
(sin u)
2n+1 du;
√
n
0
1
1 +
t
2
n
n dt =
√
n
p/4
0
(cos u)
2n−2 du.
3. On rappelle (voir le cours de première année) que
p/2
0
(sint)
n dt ∼
+∞
p
2n
·
Montrer que
∞
0
e
−t
2
dt =
√
p
2
·
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