Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Les théorèmes généraux sur le changement de variable permettent de conclure que
Proposition 19
Soient un réel a et D un domaine élémentaire de [0, +∞[ × [a, a + 2p].
Si w(D) est un domaine élémentaire de R
2 , pour toute fonction f continue sur w(D), on a
w(D)
f (x, y)dxdy =
D
f (r cos u, r sin u)rdrdu.
On admettra que cette proposition est encore vraie si D et w(D) sont des produits
d’intervalles quelconques sous réserve que les intégrales puissent être définies.
Par exemple, D = [0, +∞[ × [0, 2p], et alors w(D) = R
2 ,
ou encore D = [0, +∞[ × [0, p/2], et w(D) = [0, +∞[×[0, +∞[.
Exemples
1. Calculer le volume de V =
(x, y, z) ∈ R
3 ; 0 z 4 − (x
2 + y
2 )
. On note que :
4 − (x
2 + y
2 ) = 0 si et seulement si x
2 + y
2 = 4, on a donc V(V ) =
D
(4 − (x
2 + y
2 ))dxdy,
avec D =
(x, y) ∈ R
2 ; x
2 + y
2
4
. En utilisant les coordonnées polaires, on a :
V =
[0,2]×[0,2p]
(4 − r
2 )rdrdu
= 2p
2
0
(4 − r
2 )rdr
= 8p.
2. L’intégrale de Gauss
Nous avons démontré plus haut que l’intégrale
+∞
0
e
−t
2
dt converge. Comme
e
−(x
2 +y
2 ) = e
−x
2
e
−y
2
on peut affirmer que
[0,+∞[×[0,+∞[
e
−(x
2 +y
2 ) dxdy =
+∞
0
e
−t
2
dt
2
D’autre part, en utilisant les coordonnées polaires, on aura :
w
[0, +∞[ × [0, p/2]
= [0, +∞[×[0, +∞[
et
[0,+∞[×[0,+∞[
e
−(x
2 +y
2 ) dxdy =
[0,+∞[×[0,p/2]
re
−r
2
drdu.
Or
[0,+∞[×[0,p/2]
re
−r
2
drdu =
p/2
0
du ×
+∞
0
re
−r
2
dr =
p
2
×
1
2
·
On en déduit que
+∞
0
e
−t
2
dt =
√
p
2
·
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