© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Intégrales doubles
Définissons G : x ∈ [0, +∞[ →
+∞
x 2
1
(1 + x + y) 2 dy.
On a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
G(x) = −
1
1 + x + y
+∞
x 2
=
1
1 + x + x 2 ,
+∞
0
G(x)dx =
2
√
3
+∞
1
√
3
dv
1 + v 2 , (poser x + 1/2 =
√
3
2
v),
+∞
0
G(x)dx =
2
√
3
(
p
2
−
p
6
) =
2p
3
√
3
·
Définissons H : y ∈ [0, +∞[ →
√ y
0
1
(1 + x + y) 2 dx.
On a :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
H(y) = −
1
1 + x + y
√ y
0
=
1
1 + y
−
1
1 + y +
√ y
.
+∞
0
H(y) dy =
+∞
0
2u
2
(1 + u 2 )(1 + u + u 2 )
du, (poser y = u
2 ).
On vérifie que
2u
2
(1 + u 2 )(1 + u + u 2 )
=
2u
1 + u 2 −
2u + 1
1 + u + u 2 +
1
1 + u + u 2 ·
On a donc :
+∞
0
H(y) dy =
ln
1 + u
2
1 + u + u 2
+∞
0
+
+∞
0
du
1 + u + u 2
=
+∞
0
du
1 + u + u 2
=
2p
3
√
3
.
On aura
A
1
(1 + x + y) 2 dxdy =
+∞
0
G(x)dx =
+∞
0
H(y) dy =
2p
3
√
3
·
➤ Remarque
Dans chacun des cas évoqués ci-dessus, on peut définir l’application ~ f : R
2 → R prolongée de l’application f de
la façon suivante
∀x ∈ A f (x) = f (x), ∀x ∈ R
2 A, f(x) = 0.
On pose alors
R 2
f (x, y) dxdy =
A
f(x, y) dxdy.
5.6 Changement de variables en coordonnées polaires
Dans cette section, on notera w l’application
(r, u) ∈ [0, +∞[ × R → (r cos u, r sin u).
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