Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Exemples
1.
A
f (x, y) dxdy, avec A = {(x, y) ∈ R
2 ; x + y 1}.
Ici, A est un demi-plan limité par la droite d’équation x + y = 1. Définissons
G : x ∈ R →
+∞
1−x
f (x, y) dy.
On a :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
G(x) =
+∞
1
f (x, u − x) dx
R
G(x)dx =
R
+∞
1
f (x, u − x) du
dx =
R×[1,+∞[
g(x, u) dxdu
avec g(x, u) = f (x, u − x). On est donc ramené au cas d’un produit d’intervalles.
2.
A
xye
−x dxdy, avec A = {(x, y) ∈ R
2 ; 0 y x}.
Dans ce cas, la partie A est un secteur angulaire limité par la droite d’équation y = x et par
l’axe des abscisses, on peut considérer A comme un domaine élémentaire non borné.
Définissons G : x ∈ [0, +∞[ →
x
0
xye
−x dy,
on a G(x) =
1
2
x
3 e
−x et
+∞
0
G(x) dx =
1
2
G(4) = 3.
Définissons H : y ∈ [0, +∞[ →
+∞
y
xy e
−x dx,
on a H(y) = y(1 + y)e
−y et
+∞
0
H(y) dy = G(3) + G(2) = 3.
On aura
A
xy e
−x dxdy =
+∞
0
G(x) dx =
+∞
0
H(y) dy = 3.
3.
A
1
(1 + x + y) 2 dxdy, avec A = {(x, y) ∈ R
2 ; x 0, y x
2
}.
Dans ce cas la partie A est limitée par l’axe des ordonnées et la parabole d’équation y = x
2 ,
elle peut encore être considérée comme un domaine élémentaire non borné.
O
x
y
x
2
√
y
A
Figure 6.5 Représentation de la partie A
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