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Intégrales doubles
➤ Remarque
Nous avons déjà rencontré des cas particuliers de ce théorème.
À partir de ce résultat, on donne la définition suivante.
Définition 18
Soient I et J deux intervalles de R non réduits à un point, et f une fonction continue,
positive sur I × J . On suppose que
• pour tout x ∈ I,
J
f (x, y)dy converge ;
• pour tout y ∈ J,
I
f (x, y)dx converge ;
• les fonctions G : x ∈ I →
J
f (x, y)dy et H : y ∈ J →
I
f (x, y)dx sont continues.
La valeur commune des intégrales
J
I
f (x, y)dx
dy et
I
J
f (x, y)dy
dx est appelée
intégrale double de f sur I × J et notée
I×J
f ou
I×J
f (x, y)dxdy.
La proposition ci-dessous est une généralisation des théorèmes analogues rencontrés
dans le cas d’un pavé ou d’un domaine élémentaire.
Proposition 18
Soient I et J deux intervalles de R non réduits à un point, g une fonction continue positive
sur I et h une fonction continue positive sur J. Si
I
g(x)dx et
J
h(y)dy convergent, on a
I×J
g(x)h(y) dxdy =
I
g(x)dx ×
J
h(y)dy.
Ici, nous nous proposons de définir
A
f (x, y)dxdy, f étant une fonction continue et
positive sur une pertie A ⊂ R
2 , dans quelques cas particuliers de partie A.
Cette notion a été définie dans le cas où :
1. A est un domaine élémentaire
2. A est un produit d’intervalles.
Nous étudions maintenant quelques exemples où A peut être considérée comme
un domaine élémentaire non borné, et nous mènerons des calculs analogues à ceux
menés dans ces cas, sous réserve, bien sûr , que les intégrales impropres écrites soient
convergentes. De tels exemples sont importants en vue du calcul des probabilités.
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