Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Définition 16
Soit D un domaine élémentaire de R
2 ,
D
dxdy est appelée aire de D et notée A(D).
➤ Remarque
Si f est une fonction continue et positive sur [a, b],
et si D = {(x, y) ; a x b, 0 y f (x)},
on vérifie que
A(D) =
D
dxdy =
b
a
f(x)dx.
Et l’on constate que, si f est constante égale à c(c > 0), on retrouve la notion usuelle d’aire d’un rectangle dont
les dimensions sont c et b − a.
Définition 17
Soient D un domaine élémentaire de R
2 , et f une fonction continue positive sur D.
Si V =
(x, y, z) ∈ R
3 ; (x, y) ∈ D, 0 z f (x, y)
, l’intégrale
D
f (x, y)dxdy est, par
définition, le volume de V et noté V(V )
Dans le cas où D est un pavé, on retrouve la définition donnée plus haut.
5.5 Intégrales doubles impropres
Dans ce qui précède, les intégrales doubles que nous avons rencontrées mettaient
en jeu des domaines plans bornés. Dans la présente section, nous nous intéressons à
l’intégrale double d’une fonction, continue, positive sur un produit d’intervalles, non
néssairement bornés.
Nous admettrons tout d’abord le théorème suivant.
Théorème 9 (Théorème de Fubini)
Soient I et J deux intervalles de R non réduits à un point, et f une fonction continue,
positive sur I × J . On suppose que
1. pour tout x ∈ I,
J
f (x, y)dy converge ;
2. pour tout y ∈ J,
I
f (x, y)dx converge ;
3. les fonctions G : x ∈ I →
J
f (x, y)dy et H : y ∈ J →
I
f (x, y)dx sont continues.
Alors
I
G(x)dx converge si et seulement si
J
H(y)dy converge, dans ce cas on a
I
G(x)dx =
J
H(y)dy.
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