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Intégrales doubles
La figure ci-dessous illustre cette définition.
D 2
D 1
D 3
D 4
Figure 6.3
D 1 ∪D 2 ∪D 3 ∪D 4
f =
D 1
f +
D 2
f +
D 3
f +
D 4
f
T 1
T 2
Figure 6.4 D = T1 ∪ T2
Exemple
Calculer
D
|x + y|dxdy , avec D = {(x, y) ∈ R
2 ; −1 x 1, −1 y 1.}
On a D = T 1 ∪ T 2 , où T 1 = {(x, y) ∈ R
2 ; x + y 0, |x| 1, |y| 1} et
T 2 = {(x, y) ∈ R
2 ; x + y < 0, |x| 1, |y| 1} (voir figure)
Et alors
D
|x + y|dxdy =
T1
(x + y)dxdy −
T2
(x + y)dxdy.
On sait (voir l’exemple ci-dessus) que
T1
(x + y)dxdy =
4
3
,
et
T2
(x + y)dxdy =
1
−1
−x
−1
(x + y)dy
dx = −
4
3
.
on a donc
D
|x + y|dxdy =
8
3
·
5.4 Calcul d’aires et de volumes
Ainsi que nous l’avons déjà noté, les applications des intégrales doubles sont nombreuses. Donnons deux définitions concernant les applications de la notion à la géométrie.
183
Intégrales doubles
La figure ci-dessous illustre cette définition.
D 2
D 1
D 3
D 4
Figure 6.3
D 1 ∪D 2 ∪D 3 ∪D 4
f =
D 1
f +
D 2
f +
D 3
f +
D 4
f
T 1
T 2
Figure 6.4 D = T1 ∪ T2
Exemple
Calculer
D
|x + y|dxdy , avec D = {(x, y) ∈ R
2 ; −1 x 1, −1 y 1.}
On a D = T 1 ∪ T 2 , où T 1 = {(x, y) ∈ R
2 ; x + y 0, |x| 1, |y| 1} et
T 2 = {(x, y) ∈ R
2 ; x + y < 0, |x| 1, |y| 1} (voir figure)
Et alors
D
|x + y|dxdy =
T1
(x + y)dxdy −
T2
(x + y)dxdy.
On sait (voir l’exemple ci-dessus) que
T1
(x + y)dxdy =
4
3
,
et
T2
(x + y)dxdy =
1
−1
−x
−1
(x + y)dy
dx = −
4
3
.
on a donc
D
|x + y|dxdy =
8
3
·
5.4 Calcul d’aires et de volumes
Ainsi que nous l’avons déjà noté, les applications des intégrales doubles sont nombreuses. Donnons deux définitions concernant les applications de la notion à la géométrie.
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