Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
On vérifie que D est un domaine élémentaire à la fois D x et D y , x et y ont des rôles
symétriques, à la fois dans la définition de f et dans celle de D, on peut donc choisir l’une
ou l’autre des deux intégrales. On a
D
(x + y)dxdy =
1
−1
1
−x
(x + y)dy
dx =
1
−1
1
2
(x + 1)
2 dx,
on en déduit
D
(x + y)dxdy =
4
3
.
2. Soit D = {(x, y) ∈ R
2 ;
√
3x − 18 y
√
x}, calculer
D
f (x, y)dxdy.
On a :
D
f (x, y)dxdy =
6
0
√
x
0
f (x, y)dy
dx +
9
6
√
x
√
3x−18
f (x, y)dy
dx
ou
D
f (x, y)dxdy =
3
0
⎛
⎝
y 2
3 +6
y 2
f (x, y)dx
⎞
⎠ dy.
Il est donc plus simple de considérer D comme un domaine D y .
3. Soit D = {(x, y) ∈ R
2 ;
√ y x 2}, calculer
D
y cos(x
5 )dxdy. Le domaine est D x et
D y , on a
D
y cos(x
5 )dxdy =
4
0
2
√ y
y cos(x
5 )dx
dy
ou
D
y cos(x
5 )dxdy =
2
0
x
2
0
y cos(x
5 )dy
dx
Le premier calcul nécessiterait la connaissance d’une primitive de cos(x
5 ), alors que le
second se fait aisément, on obtient
D
y cos(x
5 )dxdy =
1
2
2
0
x
4 cos(x
5 )dx =
1
10
sin(x
5 )
2
0
=
1
10
sin 32·
5.3 Intégrale double sur une réunion de domaines élémentaires
Définition 15
Soit D une partie de R
2 , réunion de domaines élémentaires D k , 1 k n, tels que pour
tout couple (i, j) ∈ Ú0, nÛ
2 ,
Di∩Dj
dxdy = 0.
Pour toute fonction f continue sur D, on pose
D
f (x, y)dxdy =
n
k=1
Dk
f (x, y)dxdy.
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