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Intégrales doubles
À partir de ce résultat, on donne la définition suivante.
Définition 14
Soient D un domaine élémentaire de R
2 et f une fonction continue sur D. Alors
• Si D est un domaine D x , on définit « l’ intégrale de f sur D » par
D
f =
b
a
w2(x)
w1(x)
f (x, y)dy
dx
• Si D est un domaine D y , on définit « l’ intégrale de f sur D » par
D
f =
d
c
c2(y)
c1(y)
f (x, y)dx
dy.
• Dans ces deux cas, on note aussi
D
f =
D
f (x, y)dxdy
Les propriétés de l’intégrale simple et la définition de l’intégrale double permettent de
démontrer sans peine les propriétés faisant l’objet de la proposition suivante.
Proposition 17
Soit D un domaine élémentaire de R
2 .
• Pour tous l, m, réels et f, g fonctions continues sur D on a
D
(lf + mg) = l
D
f + m
D
g.
• Si f est positive sur D, alors
D
f 0.
• Si f g sur le domaine D, alors
D
f
D
g.
Preuve
Nous laissons le soin au lecteur de rédiger la preuve de ces propriétés
❑
➤ Remarque
Si le domaine élémentaire est à la fois Dx et Dy, on choisira de calculer
b
a
w2(x)
w1(x)
f(x, y)dy
dx ou
d
c
c2(y)
c1(y)
f (x, y)dx
dy, en tenant compte de la fonction et du domaine, comme le montrent les exemples
suivants.
Exemples
1. Calculer
D
(x + y)dxdy, avec D = {(x, y) ∈ R
2 ; x + y 0, |x| 1, |y| 1}
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