Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Exemples
1. Un pavé de R
2 est un domaine D x et D y .
2. D =
(x, y) ∈ R
2 ; x 0, y 0 x + y 1
est un domaine D x et D y .
3. D =
(x, y) ∈ R
2 ; x
2
y 2x
est un domaine D x et D y .
4. D =
(x, y) ∈ R
2 ; x
2
y
2 , −2 y 2
est un domaine D y , mais il n’est pas D x .
Nous admettrons le théorème suivant, qui utilise les notations de la définition cidessus.
Théorème 8
Soient D un domaine de R
2 à la fois D x et D y et f une fonction continue de D dans R.
• La fonction G : x ∈ [a, b] →
w2(x)
w1(x)
f (x, y)dy est continue ;
• La fonction H : y ∈ [c, d] →
c2(y)
c1(y)
f (x, y)dx est continue.
• De plus
b
a
G(x)dx =
d
c
H(y)dy.
À partir de ce résultat, on donne la définition suivante, avec les notations de la définition ci-dessus
Définition 13
Soient D un domaine de R
2 à la fois D x et D y et f une fonction continue de D dans R.
La valeur commune des deux intégrales
b
a
w2(x)
w1(x)
f (x, y)dy
dx et
d
c
c2(y)
c1(y)
f (x, y)dx
dy est appelée intégrale double de f surD et notée
D
f =
D
f (x, y)dxdy.
Si D est ou seulement D x ou seulement D y , et toujours avec les notations de la
définition ci-dessus, nous admettrons le résultat suivant.
Proposition 16
Soient D un domaine élémentaire de R
2 et f une fonction continue sur D. Alors
• Si D est un domaine D x , la fonction G : x ∈ [a, b] →
w2(x)
w1(x)
f (x, y)dy est continue,
• Si D est un domaine D y , la fonction H : y ∈ [c, d] →
c2(y)
c1(y)
f (x, y)dx est continue.
180