Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
On aurait pu calculer d’abord
1
0
1
1 + x 2 y
dx, et l’on aurait alors obtenu :
1
0
1
1 + x 2 y
dx =
1
√ y
Arctan
√ y, si y = 0
= 1 si y = 0.
On vérifie ici que, puisque lim
y→0
1
√ y
Arctan
√ y = 1, l’application H est continue. Ici encore,
on calcule
1
0
1
√ y
Arctan
√ y dy en utilisant une intégration par parties, et l’on obtient :
1
0
1
√ y
Arctan
√ y dy =
2
√
y Arctan
√
y
1
0
−
1
0
1
1 + y
dy
=
p
2
− ln 2.
Les intégrales doubles (et plus généralement les intégrales multiples) sont d’une grande
utilité dans de nombreux domaines de la physique. Nous donnons ci dessous deux
exemples d’interprétation.
Interprétation géométrique
Dans le cas où f (x, y) = a, avec a > 0, on a
P
f = a(b − a)(c − d), et a(b − a)(c − d)
est le volume du parallélépipède de base P et de hauteur a.
Nous admettrons que l’ ensemble des points (x, y, z) de R
3 tels que : (x, y) ∈ P et
0 z f (x, y)constitue un domaine de l’espace dont le volume (exprimé en unité
de volume) est égal à
P
f .
Interprétation statique
Si f (x, y) = a avec a > 0, on peut aussi considérer que
P
f = a(b − a)(c − d)est la
masse de la plaque de superficie P de densité de surface égale à a
Nous admettrons que
P
f est égale à la masse d’une plaque solide de surface P et
dont la densité au point de coordonnées (x, y) est f (x, y).
Les propriétés de l’intégrale simple et la définition de l’intégrale double permettent de
démontrer sans peine les propriétés faisant l’objet de la proposition suivante.
Proposition 15
• Quels que soient les réels l et m, et quelles que soient les fonctions f et g continues sur
le pavé P on a
P
(lf + mg) = l
P
f + m
P
g.
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