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Intégrales doubles
Théorème 7
Soient P = [a, b] × [c, d] et f une fonction continue de P dans R, on a
b
a
d
c
f (x, y)dy
dx =
d
c
b
a
f (x, y)dx
dy.
À partir de ce résultat, on donne la définition suivante
Définition 11
Soient P = [a, b] × [c, d] et f une fonction continue de P dans R. La valeur commune
des deux intégrales
b
a
d
c
f (x, y)dy
dx et
d
c
b
a
f (x, y)dx
dy est appelée intégrale
double de f sur le pavé P, et notée
P
f ou
[a,b]×[c,d]
f ou
P
f (x, y)dxdy ou
[a,b]×[c,d]
f (x, y)dxdy.
➤ Remarques
• Dans ce qui précède, nous admettons que les applications
G : x ∈ [a, b] →
d
c
f (x, y)dy et H : y ∈ [c, d] →
b
a
f (x, y)dx sont des fonctions continues, ce qui permet de
définir à la fois
b
a
G(x)dx et
d
c
H(y)dy.
• Il est clair que, si f (x, y) = g(x)h(y),
P
f =
b
a
g(x)dx ×
d
c
h(y)dy.
Exemple
Calcul de
[0,1]×[0,1]
1
1 + x 2 y
dxdy.
On a :
1
0
1
1 + x 2 y
dy =
1
x 2 ln(1 + x
2 ), si x = 0
= 1 si x = 0.
Sur cet exemple, et puisque lim
x→0
ln(1 + x
2 ) = 1, on constate que l’application G est continue.
On calcule alors
1
0
1
x 2 ln(1 + x
2 ) dx en utilisant une intégration par parties et l’on obtient :
1
0
1
x 2 ln(1 + x
2 ) dx =
−
1
x
ln(1 + x
2 )
1
0
+
1
0
2
1 + x 2 dx
= − ln 2 + [2 Arctan x]
1
0
= − ln 2 +
p
2
.
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