Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
(ii) On a G(1) =
+∞
0
e
−t dt = 1. Le résultat annoncé en découle clairement, à l’aide d’une démonstration
par récurrence utilisant le (i).
(iii) G(1/2) =
+∞
−∞
e
−t
2
dt
Pour tout x > 0, en effectuant le changement de variable u = t
2 , on obtient, pour tout
y > 0,
y
0
e
−t
2
dt = 1/2
y
2
0
u
−1/2 e
−u du.
Ainsi G(1/2) = 2
+∞
0
e
−t
2
dt =
+∞
−∞
e
−t
2
dt, d’où G(1/2) =
√
p.
❑
La fonction Bêta
La fonction Bêta
Soient p, q ∈ R réels, et g : t ∈ ]0, 1[ → t
p−1 (1 − t)
q−1 , la fonction g est intégrable sur
]0, 1[ si et seulement si p > 0, q > 0.
La fonction (p, q) ∈ ]0, +∞[ × ]0, +∞[ →
1
0
t
p−1 (1 − t)
q−1 dt est appelée fonction Beta et
notée B.
B : (p, q) ∈ ]0, +∞[ × ]0, +∞[ →
1
0
t
p−1 (1 − t)
q−1 dt.
Preuve
Pour tous p, q réels, la fonction g : t ∈ ]0, 1[ → t
p−1 (1 − t)
q−1 est continue et positive.
Soit c ∈ ]0, 1[, étudions
c
0
t
p−1 (1 − t)
q−1 dt.
L’application t → (1 − t)
q−1 est continue sur [0,c], donc bornée sur cet intervalle, posons
M = sup
0tc
(1 − t)
q−1 , m = inf
0tc
(1 − t)
q−1 , on a : m > 0 et mt
p−1 t
p−1 (1 − t)
q−1 Mt
p−1 , on sait que
c
0
t
p−1 dt converge si et seulement si 1 − p < 1 soit p > 0, d’après le théorème 4,
c
0
t
p−1 (1 − t)
q−1 dt
converge si et seulement si p > 0.
Un raisonnement analogue montre que
1
c
t
p−1 (1 − t)
q−1 dt converge si et seulement si q > 0.
❑
➤ Remarques
• La lettre B est la lettre grecque b majuscule.
• La fonction B est une fonction de deux variables.
• On prouve aisément, grâce au changement de variable u = 1 − t, que B(p, q) = B(q, p).
5. Intégrales doubles
5.1 Intégrale double sur un pavé
Définition 10
Un pavé de R
2 est un produit de deux segments de R.
Nous admettons le théorème suivant.
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