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Pratique des intégrales impropres
En calcul des probabilités, on étudie l’intégrale impropre
+∞
−∞
e
−
(t−m) 2
2s 2 dt, avec m ∈ R
et s ∈ ]0, +∞[ .
En faisant le changement de variable t − m =
√
2su, le lecteur montrera que
+∞
−∞
e
−
(t−m) 2
2s 2 dt = s
√
2p.
La fonction Gamma
La fonction G
Soient x ∈ R et f : t ∈ ]0, +∞[ → t
x−1 e
−t , la fonction f est intégrable sur ]0, +∞[ si et
seulement si x ∈ ]0, +∞[.
La fonction x ∈ ]0, +∞[ →
+∞
0
t
x−1 e
−t dt est appelée fonction Gamma et notée G.
G : x > 0 →
+∞
0
t
x−1 e
−t dt.
Preuve
Pour tout x ∈ R la fonction f : t ∈ ]0, ∞[ → t
x−1 e
−t est continue et positive.
Étudions la nature de l’intégrale
1
0
f (t)dt.
Pour tout t ∈ ]0, 1] , e
−1 e
−t 1, et
1
e
t
x−1 f(t) t
x−1 , on sait que
1
0
t
x−1 dt converge si et
seulement si 1 − x < 1 soit x > 0.
Étudions maintenant
+∞
1
f (t)dt.
Pour tout x ∈ R, lim
t→+∞
e
−t/2 t
x−1 = 0, il existe donc c ∈ [1, +∞[ tel que :
∀t ∈ [c, +∞[ , 0 e
−t/2 t
x−1 1 et 0 f(t) e
−t/2 .
On sait que
+∞
c
e
−t/2 dt converge, donc
+∞
1
f (t)dt converge.
On en déduit que
+∞
0
t
x−1 e
−t dt converge si et seulement si[ :] x > 0.
❑
Proposition 14 (Premières propriétés)
(i) Pour tout x > 0, G(x + 1) = xG(x).
(ii) Quel que soit l’entier naturel n, G(n + 1) = n!.
(iii) G(1/2) =
√
p.
Preuve
(i) Pour tout réel strictement positif x et quels que soient les réels positifs y et z , une intégration par parties
conduit à
z
y
t
x e
−t dt = e
−y y
x − e
−z z
x + x
z
y
t
x−1 e
−t dt
Or, lim
y→0
e
−y y
x = 0 et lim
z→+∞
e
−z z
x = 0.
Le résultat annoncé en découle.
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