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Pratique des intégrales impropres
Si la fonction uv admet une limite en chacun des points a, b alors
b
a
u(t)v
(t)dt
converge si et seulement si
b
a
u(t)v
(t)dt converge. Dans certains cas il peut être
judicieux de choisir v+C (C constante bien choisie) pour primitive de v
. Un exemple
est donné dans l’exercice 4.
Changement de variable
Proposition 13
Soient w une fonction de classe C
1 , strictement croissante de ]a, b[ sur ]w(a), w(b)[ et f une
application continue sur ]w(a), w(b)[ . L’intégrale
w(b)
w(a)
f (u)du converge si et seulement si
b
a
f (w(t))w
(t)dt converge, dans ce cas on a
w(b)
w(a)
f (u)du =
b
a
f (w(t))w
(t)dt.
Preuve
La fonction w est une bijection de ]a, b[ sur
w(a), w(b)
, nous noterons w
−1 son application réciproque.
On sait que, quels que soient les réels y et x tels que a < y < x < b,
w(x)
w(y)
f (u)du =
x
y
f
w(t)
w
(t)dt
et que quels que soient les réels v et w tels que w(a) < v < w < w(b), on a
w
v
f (u)du =
w
−1 (w)
w −1 (v)
f
w(t)
w
(t)dt.
Le résultat s’en déduit par passage à la limite.
❑
➤ Remarque
Si w est monotone décroissante, le théorème reste vrai, en remplaçant
w(a), w(b)
par
w(b), w(a)
.
Exemple
Étude de
1
0
ln t
√
1 − t
dt.
On utilise le changement de variable u =
√
1 − t, on est alors ramené à l’étude de
1
0
ln(1 − u
2 )du.
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