Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
• Montrons que
+∞
1
sin t
t
dt est convergente.
Soit F : x ∈ [1, +∞[ →
x
1
sin t
t
dt. En effectuant une intégration par parties, on a
F(x) = cos 1 −
cos x
x
−
x
1
cos t
t 2 dt.
Pour tout x 1,
cos x
x
1
x
, donc lim
x→+∞
cos x
x
= 0.
Étudions maintenant l’intégrale impropre
+∞
1
cos t
t 2 dt. Pour tout t ∈ [1, x],
cos t
t 2
1
t 2
et
x
1
1
t 2 dt = 1 −
1
x
, lim
x→+∞
1
x
= 0.
D’après les théorèmes de comparaison,
+∞
1
cos t
t 2 dt est convergente, d’où la convergence
de
+∞
1
sin t
t
dt.
4.2 Calcul des intégrales impropres
Parmi les méthodes qui permettent de calculer des intégrales impropres, citons en
trois.
Recours à une primitive
Soit f une fonction continue sur l’intervalle ]a, b[, si l’on peut exprimer une primitive
F de f sur ]a, b[, à l’aide des « fonctions usuelles », on sait que
b
a
f (t)dt converge si
et seulement si F admet une limite en chacun des points a, b et l’on a
b
a
f (t)dt = lim
x→b
F(x) − lim
x→a
F(x).
On note lim
x→b
F(x) − lim
x→a
F(x) = [F(x)]
b
a .
Nous avons déjà utilisé cette méthode dans de nombreux cas.
Recours à une intégration par parties
Soient u, v deux fonctions de classe C
1 sur l’intervalle ]a, b[, pour tous x, y tels que
a < y < x < b on a
x
y
u(t)v
(t)dt = u(x)v(x) − u(y)v(y) −
x
y
u
(t)v(t)dt.
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