© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Pratique des intégrales impropres
Preuve
Soit f une application continue de ]a, b[ dans R. Posons f+ = max{f, 0} et f − = max{−f, 0}.
On a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f = f+ − f −
| f |= f+ + f −
f+ =
1
2
(f + |f|)
f − =
1
2
(|f| − f )
Les fonctions f+ et f − sont continues et positives sur ]a, b[, de plus f+ | f | et f − | f |, les intégrales
b
a
f+(t)dt et
b
a
f − (t)dt sont donc convergentes, par linéarité
b
a
f(t)dt est convergente.
On a
b
a
f (t)dt =
b
a
f+(t) − f − (t)
dt =
b
a
f+(t)dt −
b
a
f − (t)dt, donc
b
a
f (t)dt
b
a
f+(t)dt +
b
a
f − (t)dt,
d’où le résultat.
❑
➤ Remarques
• Pour montrer qu’une intégrale impropre converge, on pourra étudier d’abord son absolue convergence. Ainsi,
on sera amené à étudier la convergence de l’intégrale d’une fonction positive, ce qui simplifie la tâche ; on
peut, en particulier, utiliser les critères de comparaison. Si l’on a pu montrer que l’intégrale est absolument
convergente, on pourra affirmer qu’elle est convergente, mais si l’intégrale n’est pas absolument convergente,
on ne pourra pas conclure, comme le montre l’exemple ci-dessous.
• Attention ! Il existe des intégrales impropres convergentes, mais non absolument convergentes. On en trouvera un exemple ci-dessous
Exemple
Considérons l’intégrale impropre
+∞
1
sin t
t
dt
• Montrons que
+∞
1
| sin t|
t
dt diverge.
Soit H : x ∈ [1, +∞[ →
x
p
| sin t |
t
dt.
On a H(np) =
np
p
| sin t |
t
dt =
n−1
k=1
(k+1)p
kp
| sin t |
t
dt.
Pour tout k ∈ Ú1, n − 1Û,
(k+1)p
kp
| sin t |
t
dt =
p
0
sin u
u + kp
du (faire le changement de
variable t = u + kp).
Si 0 u p, on a
1
u + kp
1
(k + 1)p
, on en déduit :
p
0
sin u
u + kp
du
p
0
sin u
(k + 1)p
du.
On a
p
0
sin u du = 2, donc H(np) 2
n
k=1
1
(k + 1)p
.
On sait que la série harmonique est divergente, donc lim
n→+∞
H(np) = +∞, l’intégrale
+∞
1
| sin t |
t
dt est divergente.
171