Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
➤ Remarques
• Notons que cette définition est cohérente avec la relation de Chasles
• Si
b
a
f (t)dt converge, on dit que f est intégrable sur ]a, b[
Exemple en vue du calcul des probabilités
Soient l ∈ [0, +∞[ et f : t ∈ R → 1 l [0,+∞[ (t)e
−lt , f est continue sur [−∞, 0[ et [0, +∞[ on a
0
−∞
f (t)dt = 0 et lim
x→+∞
x
0
f (t)dt = lim
x→+∞
1
l
(1 − e
−lt ) =
1
l
.
La fonctionf est donc intégrable sur ]−∞, +∞[ et
+∞
−∞
f (t)dt =
1
l
.
4. Pratique des intégrales impropres
4.1 Convergence absolue d’une intégrale impropre
Définition 7
Soient un intervalle de R de la forme ]a, b[ avec −∞ a < b +∞ et f une fonction
continue de ]a, b[ dans R.
On dit que
b
a
f (t)dt est absolument convergente si et seulement si
b
a
|f (t)|dt converge.
Proposition 12
L’ensemble des fonctions continues de l’intervalle ]a, b[ dans R, dont l’intégrale sur ]a, b[
est absolument convergente est un sous espace vectoriel de l’espace des fonctions continues
sur ]a, b[ .
Preuve
L’ensemble des fonctions continues de ]a, b[ dans R dont l’intégrale sur ]a, b[ est absolument convergente
n’est pas vide, il contient la fonction t ∈ ]a, b[ → 0. Soient f et g deux fonctions de ]a, b[ dans R d’intégrale
absolument convergente, pour tous réels l, m, on a pour tout t ∈ ]a, b[ , |lf(t) + mg(t)| |l||f(t)| + |m||g(t)|,
donc l’intégrale de |lf + mg| sur ]a, b[ converge, d’où le résultat.
❑
Théorème 6
Soit f : ]a, b[ → R une fonction continue dont l’intégrale est absolument convergente
sur ]a, b[, alors
1.
b
a
f (t)dt converge ;
2.
b
a
f (t)dt
b
a
|f (t)|dt.
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