© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Intégrales plusieurs fois impropres
2.
1
−1
1
√
1 − t 2
dt.
On a de même démontré dans les exemples du début du chapitre, que
1
0
1
√
1 − t 2
dt
converge, et que
1
0
1
√
1 − t 2
dt =
p
2
.
Donc
1
−1
1
√
1 − t 2
dt converge et
1
−1
1
√
1 − t 2
dt = 2 ×
p
2
= p.
3.2 Cas où f est à valeurs positives sur
a, b
Proposition 11
Soit f une fonction continue positive de ]a, b[ dans R, dont l’intégrale sur ]a, b[ converge,
alors
b
a
f (t)dt 0 et
b
a
f (t)dt = 0 si et seulement si f = 0.
Preuve
Cette proposition résulte clairement des définitions et des résultats démontrés plus haut
❑
Théorème 5
Critères de comparaison
Soient f et g deux applications continues de ]a, b[ dans [0, +∞[ telles que 0 f g.
• Si
b
a
g(t)dt converge,
b
a
f (t)dt converge et
b
a
f (t)dt
b
a
g(t)dt;
• Si
b
a
f (t)dt diverge , alors
b
a
g(t)dt diverge.
Preuve
Cette conclusion résulte également clairement des définitions et des critères de comparaison rencontrés plus
haut.
❑
3.3 Cas où f est une fonction continue sur
a, b
sauf en un nombre fini de
points
Définition 6
Soient k ∈ N, k 1 et (c h ) 1hk une famille croissante de points de ]a, b[, posons
c 0 = a, c k+1 = b, si ∀h ∈ Ú0, kÛ,
ch+1
ch
f (t)dt converge, on dit que
b
a
f (t)dt converge et
l’on a :
b
a
f (t)dt =
k
h=0
ch+1
ch
f (t)dt.
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