Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
• On a lim
t→1 −
ln t
1 − t
= −1, donc f se prolonge par continuité sur ]0, 1] et l’intégrale
1
c
ln t
1 − t
dt converge (elle est faussement impropre).
L’intégrale
1
0
ln t
1 − t
dt est donc convergente.
Proposition 10 (Propriétés liées à la parité)
Supposons a = −b
• Soit f une fonction continue et paire sur ]−b, b[. Alors
b
−b
f (t)dt converge si et
seulement si
b
0
f (t)dtconverge. Dans ce cas
b
−b
f (t)dt = 2
b
0
f (t)dt.
• Soit f une fonction continue et impaire sur ]−b, b[. Alors
b
−b
f (t)dt converge si et
seulement si
b
0
f (t)dt converge. Dans ce cas
b
−b
f (t)dt = 0.
Preuve
Ces propriétés résultent clairement des propriétés de l’intégrale et de la relation de Chasles.
Mais attention à ne pas croire que ∀x ∈ [0, b[ ,
x
−x
f (t)dt = 0, entraîne que
b
−b
f(t)dt converge. On aurait
ainsi démontré que
b
−b
f (t) dt converge pour toute fonction impaire sur ]−b, b[ ! ( Ce qui est bien clairement
faux ; pour le prouver, il suffit d’examiner simplement l’intégrale
+∞
−∞
t dt).
❑
Exemples
1.
+∞
−∞
1
1 + t 2 dt.
On a démontré dans les exemples du début du chapitre, que
+∞
0
1
1 + t 2 dt converge,
donc
+∞
−∞
1
1 + t 2 dt converge et
+∞
−∞
1
1 + t 2 dt = 2 ×
p
2
= p.
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