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Intégrales plusieurs fois impropres
Proposition 8
Soient I un intervalle de R de la forme ]a, b[ avec −∞ a < b +∞ et f une
fonction continue de ]a, b[ dans R. L’intégrale
b
a
f (t)dt converge si et seulement si
x
y
f (t)dt admet une limite lorsque (y, x) tend vers (a, b) ; on a alors :
b
a
f (t)dt = lim
(y,x)→(a,b)
x
y
f (t)dt.
Preuve
Ce résultat est une simple conséquence des définitions et de la relation de Chasles.
❑
Proposition 9
L’ensemble des fonctions continues de ]a, b[ dans R dont l’intégrale sur ]a, b[ converge
est un sous espace vectoriel de l’espace des fonctions continues de ]a, b[ dans R et l’application f →
b
a
f (t)dt est une forme linéaire sur ce sous espace.
Preuve
Ce résultat est une simple conséquence des définitions et de la relation de Chasles.
❑
➤ Remarques
• L’étude de ces intégrales deux fois impropres se ramène, en utilisant la relation de Chasles, à l’étude de deux
intégrales impropres comme celles qu’on a rencontrées au début de ce chapitre.
• Dans la dernière proposition ci-dessus, il est important de noter que, lorsque l’on écrit (y, x) tend vers (a, b),
cela signifie que, d’une part, y tend vers a et que, d’autre part, et de manière indépendante, x tend vers b
(voir ci-dessous l’exemple donné dans la preuve de la proposition concernant les propriétés de parité).
Exercice 6.
Étudier la nature de l’intégrale
1
0
ln t
1 − t
dt.
Notons que la fonction à intégrer n’est définie ni en 0, ni en 1. L’intégrale étudiée est
doublement impropre.
Solution. La fonction f : t ∈ ]0, 1[ →
ln t
1 − t
est continue et négative sur l’intervalle ]0, 1[, on
pourra donc appliquer les résultats obtenus au début du chapitre.
Choisissons un point c ∈ ]0, 1[, par exemple c =
1
2
·
• Pour tout t ∈ ]0, c[, on a 0 <
1
1 − t
1
1 − c
, soit −f (t)
1
1 − c
(− ln t) ; nous avons
démontré en exercice que
c
0
ln t dt converge, donc
c
0
ln t
1 − t
dt converge.
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