Chapitre 6 – Extensions de la notion d’intégrale
Exercice 5.
Étudier la nature de l’intégrale
1
0
ln tdt.
Solution. La fonction t ∈ ]0, 1] → ln t est continue sur ]0, 1] ; calculons
1
y
ln tdt, grâce à une
intégration par parties, on a
1
y
ln tdt = y(1 − ln y) − 1, et lim
y→0
(y(1 − ln y) − 1) = −1, l’intégrale
impropre étudiée est donc convergente et
1
0
ln tdt = −1.
3. Intégrales plusieurs fois impropres
3.1 L’intégrale doublement impropre
b
a
f (t)dt
Définition 5
Soient a et b deux éléments de R = R ∪ {−∞, +∞} et soit f une fonction continue de
]a, b[ dans R, avec −∞ a < b +∞.
• S’il existe c ∈ ]a, b[ tel que les intégrales impropres
c
a
f (t)dt et
b
c
f (t)dt convergent,
on dit que
b
a
f (t)dt converge et l’on pose
b
a
f (t)dt =
c
a
f (t)dt +
b
c
f (t)dt.
• S’il n’en est pas ainsi, on dit que
b
a
f (t)dt diverge.
Montrons que cette définition est licite. Elle ne dépend pas du choix de c ∈ ]a, b[ .
En utilisant la relation de Chasles, on vérifie que s’il existe c ∈ ]a, b[ tel que les
intégrales impropres
c
a
f (t)dt et
b
c
f (t)dt convergent, alors pour tout d dans ]a, b[,
les intégrales impropres
d
a
f (t)dt et
b
d
f (t)dt convergent, et
c
a
f (t)dt +
b
c
f (t)dt =
d
a
f (t)dt +
b
d
f (t)dt.
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