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L’ intégrale impropre
b
a
f (t)dt
(ii) Si a = 1, pour x ∈ [a, b[ ,
x
a
1
b − t
dt = ln(b−a)−ln(b−x), l’intégrale
b
a
1
b − t
dt est donc divergente.
Mais attention ! L’étude des intégrales impropres des fonctions de Riemann ne figurant pas au programme
de la classe, il faut, un jour d’examen, justifier le résultat annoncé en calculant
b
a
1
(b − t) a dt dans le cas
particulier de la question traitée, comme nous le faisons dans l’exercice suivant.
Exercice 4.
Étudier la nature de l’intégrale
1
0
1
√
1 − t 3
dt.
Solution. Soit f : t ∈ [0, 1[ →
1
√
1 − t 3
, f est une fonction continue et positive ; pour
tout t ∈ [0, 1[, 1 − t
3 = (1 − t)(1 + t + t
2 ). Comme 1 − t
3
1 − t, on en déduit que
0 f (t)
1
√
1 − t
.
Pour tout x ∈ [0, 1[ ,
x
0
1
√
1 − t
dt = 2(1 −
√
1 − x) et lim
x→1
2(1 −
1 − x) = 2, l’intégrale
impropre
1
0
1
√
1 − t 3
dt est donc convergente.
2.4 Cas d’une fonction continue sur l’intervalle ]a, b]
Définition 4
Soient ]a, b] un intervalle de R et f une application continue de ]a, b] dans R.
• On dit que l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt converge si l’application
F : y ∈ ]a, b] →
b
y
f (t)dt, admet une limite finie l lorsque y tend vers a,
on note alors
b
a
f (t)dt = l.
On dit aussi que l’intégrale existe, ou encore, qu’elle a un sens.
• On dit que l’intégrale impropre
b
a
f (t)dt diverge si l’application
F : y ∈ ]a, b] →
b
y
f (t)dt n’admet pas de limite finie lorsque y tend
vers a.
On dit aussi que l’intégrale
b
a
f (t)dt n’existe pas, ou encore, qu’elle n’a pas de sens.
Nous savons que pour tout y ∈ ]a, b] ,
a
y
f (t)dt =
−y
−a
f (−u)du, on peut donc se
ramener au cas traité plus haut.
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